Wechselnde Minimalenergie-Methoden für lineare Systeme in höheren Dimensionen

Wir schlagen Algorithmen zur Lösung hochdimensionaler symmetrischer positiv definiten (SPD) linearer Systeme vor, bei denen die Matrix und die rechte Seite gegeben sind und die Lösung in einem Niedrigrangformat gesucht wird. Ähnlich wie bei den Algorithmen der Dichte-Matrix-Renormalisierungsgruppe (DMRG) optimieren unsere Methoden danach die Komponenten des Tensorproduktformats. Um die Konvergenz zu verbessern, erweitern wir den Suchraum durch eine ungenaue Gradientenrichtung. Wir beweisen die geometrische Konvergenz und schätzen die Konvergenzgeschwindigkeit der vorgeschlagenen Methoden, indem wir die Analyse des steilsten Abstiegsalgorithmus nutzen. Die Komplexität der präsentierten Algorithmen ist linear in der Modengröße und Dimension, und die demonstrierte Konvergenz ist vergleichbar oder sogar besser als die des DMRG-Algorithmus. Im numerischen Experiment zeigen wir, dass die vorgeschlagenen Methoden auch für nicht-SPD-Systeme effizient sind, zum Beispiel für solche, die aus der chemischen Mastergleichung (CME) stammen und das genetische Regulierungsmodell auf mesoskale darstellen.