Équations Fonctionnelles dans la Théorie de la Programmation Dynamique--VI, Une Preuve Directe de Convergence

(b) Ri (x, y) < O. i = 1, 2, **, K. Ici x et c sont des vecteurs de N dimensions, tandis que y est une fonction vecteur de M dimensions. La maximisation porte sur y. Étant donné que les solutions des problèmes de ce type ne sont que rarement obtenues sous forme explicite, nous devons recourir à un type de solution approximative si nous sommes intéressés par des résultats numériques. Une méthode remontant à Euler consiste à approcher l'intégrale dans (1) par une somme de la forme (3) J1 (y) = EZ=oAF (x (k), y (k)), et aux relations dans (2) par les relations (a) x (k + 1) = x (k) + AG (x (k), y (k)), x (0) = c, k = 0, 1, , n, (b) Ri (x (k), y (k)) < 0O où (a) A = T/n, (5) (b) x (k) _ x (kT/n), y (k) _ y (kT/n). Sous diverses hypothèses concernant les fonctions F, G et R, il peut être montré que (6) limbos Maxly} J1 (y) = MaxJ (y), ou (7) limo. Maxiy) J1 (y) = Supy J (y). Ici, la maximisation du côté gauche porte sur toutes les séquences y (0), y (1), , y (N) de (n + 1) dimensions.