Schwache Laplace-Bedingungen und minimale Grenzen in nicht-glatten Räumen mit untereren Ricci-Krümmungsbedingungen

Das Ziel des Papiers ist vierfach. Im Kontext von Räumen mit synthetischen Ricci-Krümmungsuntergrenzen (genauer gesagt R C D (K, N) RCD (K, N) metrische Maßräume): entwickeln wir eine intrinsische Theorie der Laplace-Beschränkungen im Sinne der Viskosität und in einem punktweisen, hitzeflussbezogenen Sinne, und zeigen deren Äquivalenz auch mit Laplace-Beschränkungen im distributionsmäßigen Sinne; basierend auf diesen Werkzeugen etablieren wir ein neues PDE-Prinzip, das die unteren Ricci-Krümmungsgrenzen mit der Erhaltung der laplace-unteren Grenzen unter der Evolution über die p p -Hopf-Lax-Halbgruppe für allgemeine Exponenten p ∈ [1, ∞) verbindet. Das Prinzip hat ein breites Anwendungsfeld, das weit über das Thema dieses Papiers hinausgeht; wir beweisen scharfe Laplace-Beschränkungen für die Distanzfunktion von einer Menge (lokal) die den Umfang minimiert, mit einer flexiblen Technik, die keine Regularitätstheorie involviert; dies entspricht verschwindender mittlerer Krümmung im glatten Umfeld und kodiert auch Informationen über die zweite Variation der Fläche; wir initiieren eine Regularitätstheorie für Grenzen von Mengen (lokal), die den Umfang minimieren und erhalten scharfe Dimensionsschätzungen für ihre singulären Mengen, quantitative Schätzungen von unabhängigem Interesse selbst im glatten Setting und topologische Regularität außerhalb der singulären Menge. Die Klasse der R C D (K, N) RCD (K, N) metrischen Maßräume umfasst als bemerkenswerte Subklassen: gemessene Gromov-Hausdorff-Grenzen von glatten Mannigfaltigkeiten mit unteren Ricci-Krümmungsgrenzen und endlich-dimensionale Alexandrov-Räume mit unteren sequentiellen Krümmungsgrenzen. Die meisten Ergebnisse sind auch in diesen Rahmen neu. Darüber hinaus haben die Werkzeuge, die wir hier entwickeln, Anwendung auf klassische Fragen der geometrischen Analyse auf glatten, nichtkompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit unteren Ricci-Krümmungsgrenzen.