Ein pfadabhängiger PDE-Löser basierend auf Signaturkernen

Wir entwickeln einen nachweislich konvergierenden kernelbasierten Löser für pfadabhängige PDEs (PPDEs). Unser numerisches Schema nutzt Signaturkerne, eine kürzlich eingeführte Klasse von Kernen im Pfadraum. Insbesondere lösen wir ein Optimierungsproblem für die Wiederherstellung, indem wir die Lösung einer PPDE mit einem Element minimaler Norm im Signatur-reproduzierenden Kern-Hilbert-Raum (RKHS) approximieren, das an einer endlichen Sammlung von Kollokationspfaden verpflichtet ist, die PPDE zu erfüllen. Im linearen Fall zeigen wir, dass die Optimierung eine eindeutige geschlossene Lösung hat, die in Form von Signaturkernbewertungen an den Kollokationspfaden ausgedrückt wird. Wir beweisen die Konsistenz des vorgeschlagenen Schemas, das die Konvergenz zur PPDE-Lösung garantiert, während die Anzahl der Kollokationspunkte zunimmt. Schließlich werden mehrere numerische Beispiele präsentiert, insbesondere im Kontext der Optionspreiserhebung bei rauer Volatilität. Unser numerisches Schema stellt eine gültige Alternative zu den weitverbreiteten Monte-Carlo-Methoden dar.