Le locus non-Lefschetz des coniques

Une algèbre Artinienne graduée A a la Propriété de Lefschetz Faible s'il existe une forme linéaire telle que la carte de multiplication par : Aᵢ A₈+₁ a le rang maximum dans chaque degré. Les formes linéaires satisfaisant à cette propriété forment un ensemble ouvert de Zariski ; son complément est appelé le locus non-Lefschetz de A. Dans cet article, nous examinons des questions analogues pour les formes de degré deux plutôt que pour les droites. Nous prouvons que toute intersection complète A=kx₁, x₂, x₃/(f₁, f₂, f₃), avec char k=0, a la Propriété de Lefschetz Forte à portée 2, c'est-à-dire qu'il existe une forme linéaire R₁, telle que la carte de multiplication ² : Mᵢ M₈+₂ a le rang maximum dans chaque degré. Ensuite, nous nous concentrons sur les formes de degré 2 telles que C : Aᵢ A₈+₂ ne parvient pas à avoir le rang maximum dans un certain degré i. Le principal résultat montre que le locus non-Lefschetz des coniques pour une intersection complète générale A=kx₁, x₂, x₃/(f₁, f₂, f₃) a la codimension attendue comme sous-schéma de P⁵. L'hypothèse de généralité est nécessaire. Nous incluons des exemples d'intersections complètes monomiales dans lesquelles le locus non-Lefschetz des coniques a une codimension différente. Pour étendre un résultat similaire aux premiers modules de cohomologie de rang 2 des fibrés vectoriels sur P², nous explorons la connexion entre les coniques non-Lefschetz et les coniques sautantes. Le locus non-Lefschetz des coniques est un sous-ensemble des coniques sautantes. Contrairement au cas des droites, cela peut être propre lorsque E est semistable avec une première classe de Chern paire.