Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen und die Exponentialverteilung

Basierend auf den Primzahlen unter 4×10¹⁸ conjecturierten Oliveira e Silva et al. (Math. Comp., 83(288):2033–2060, 2014) eine asymptotische Formel für die Summe der k-ten Potenzen der Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter einer großen Zahl x. Wir zeigen, dass die Vermutung von Oliveira e Silva genau dann gilt, wenn der k-te Moment der ersten n Lücken asymptotisch dem k-ten Moment einer Exponentialverteilung mit Mittelwert log n entspricht, obwohl die Verteilung der Lücken nicht exponentiell ist. Asymptotisch exponentielle Momente implizieren, dass die Lücken asymptotisch das Gesetz der Fluktuationsskalierung von Taylor befolgen: Varianz der ersten n Lücken ∼ (Mittelwert der ersten n Lücken)². Wenn die Verteilung der ersten n Lücken asymptotisch exponentiell mit Mittelwert log n ist, dann ist die Erwartung der größten der ersten n Lücken asymptotisch zu (log n)². Die größte der ersten n Lücken ist asymptotisch zu (log n)², wenn und nur wenn die Cramér-Shanks-Vermutung gilt. Numerische Zählungen der Lücken und die maximale Lücke Gn unter den ersten n Lücken testen diese Ergebnisse. Während die meisten Werte von Gn besser durch (log n)² als durch andere Modelle approximiert werden, deuten sieben außergewöhnliche Werte von n mit Gn>2e−γ(log n)² darauf hin, dass lim supn→∞Gn/2e−γ(log n)² möglicherweise 1 überschreiten könnte.