The MokraBela Theorem (Version 3.0) — English & Arabic Editions

Version 3. 0 — English & Arabic Complete Editionsالنسخة 3. 0 — الطبعتان العربية والإنجليزية الكاملتان ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━THE THEOREM — النظرية━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ EnglishAn odd integer p > 1 is prime if and only if it cannot be expressed as k (2n + k) for any odd integer k ≥ 3 and any non-negative integer n ≥ 0. عربيعدد صحيح فردي p > 1 يكون أولياً إذا وفقط إذا لا يمكن كتابته بالصورة k (2n + k) لأي عدد صحيح فردي k ≥ 3 ولأي عدد صحيح غير سالب n ≥ 0. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━SIMPLE EXPLANATION — شرح مبسط━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ EnglishEvery odd composite (non-prime) number has a "fingerprint": it can always be written as a product of two odd numbers whose difference is divisible by 2. For example: 15 = 3 × 5 → k=3, n=1 → 3 (2×1+3) = 15 ✓ composite 21 = 3 × 7 → k=3, n=2 → 3 (2×2+3) = 21 ✓ composite 11 =? → no k and n exist ✓ prime The key identity behind the theorem: k (2n + k) = (n+k) ² − n²Every composite odd number is the difference of two squares. A prime number can never be expressed this way. عربيكل عدد فردي مركّب (غير أولي) له "بصمة" مميزة: يمكن دائماً كتابته على شكل حاصل ضرب عددَين فرديَّين. أمثلة: 15 = 3 × 5 → k=3, n=1 → 3 (2×1+3) = 15 ✓ مركّب 21 = 3 × 7 → k=3, n=2 → 3 (2×2+3) = 21 ✓ مركّب 11 = ؟ → لا يوجد k و n ✓ أولي الهوية الجبرية الأساسية: k (2n + k) = (n+k) ² − n²كل عدد فردي مركّب هو فرق بين مربعَين. الأعداد الأولية لا يمكنها أبداً أن تكون كذلك. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━WHAT'S NEW IN VERSION 3. 0ما الجديد في الإصدار 3. 0━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ - Full Arabic edition added — النسخة العربية الكاملة- Expanded English edition with complete rigorous proof- Full originality statement with literature comparison- 2, 614 verified prime numbers discovered (up to 62, 423) - Prime generation via n²−n+p with 44 seed primes- Performance benchmarks up to 16-digit numbers- Zero errors in verification up to 10, 000 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━FILES — الملفات━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ - MokraBelaCompleteEN. pdf — Full English edition- MokraBelaCompleteAR. pdf — النسخة العربية الكاملة- MokraBelaSupportingPaper. pdf — Original V2. 0 (preserved) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━VERSION HISTORY — تاريخ الإصدارات━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ - V1. 0 — First submission (historical record) DOI: 10. 5281/zenodo. 18869236- V2. 0 — Corrected and expanded (English) DOI: 10. 5281/zenodo. 18877838- V3. 0 — Current (English + Arabic) DOI: 10. 5281/zenodo. 18877838 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ORIGINALITY — الأصالة العلمية━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ EnglishThe algebraic identity a²−b²= (a−b) (a+b) is classical. The specific parametrization k (2n+k) that organizes ALL odd composite numbers into a systematic structure — where primality is characterized by the absence of such a representation — appears to be an original contribution not previously documented in the mathematical literature. عربيهوية فرق المربعين كلاسيكية ومعروفة منذ القدم. أما التحليل المحدد k (2n+k) الذي يُنظّم جميع الأعداد الفردية المركّبة في بنية منهجية — حيث تتمثّل أولية أي عدد فردي بغياب هذا التمثيل — فيبدو إسهاماً أصيلاً لم يُوثَّق سابقاً في الأدبيات الرياضية. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ © 2026 Mokrane Ahmed — مقران أحمدSidi Bel Abbès, Algeria — سيدي بلعباس، الجزائرmokranedido@gmail. com