Self-Referential Fixed-Point Theorem : Convergence Structure In a Single Ordering Direciton

Abstract When the fixed-point equation μ = Φ(μ, μ) is considered and μ re-enters its own construction as a boundary condition, the constructive existence of the fixed point requires that the supremum of the ascending chain Φⁿ(⊥) exist within the structure. This requirement coincides structurally with the condition of the pointed directed-complete partial order (pointed dcpo) introduced by Scott’s domain theory to capture the convergence of computational approximations. Computational approximation and self-referential fixed-point construction share the same order-theoretic requirement, and from this, pointed dcpo (L, ≤, ⊥) is naturally introduced as the working space of the present study. Within this framework, the present study establishes how the existence, uniqueness, and minimality of the fixed point of a self-referential operator in a single ordering direction are coupled with the conditions of convergence, criticality, and monotonicity collapse. 초록 고정점 방정식 μ = Φ(μ, μ)에서 μ가 자신의 구성 과정에 경계 조건으로 재진입할 때, 고정점의 존재를 구성적으로 확립하려면 무한 상승 체인 Φⁿ(⊥)의 supremum이 구조 안에 존재해야 한다. 이 요구는 Scott의 도메인 이론이 계산의 근사 수렴을 포착하기 위해 도입한 유향완비편순집합(pointed dcpo)의 조건과 구조적으로 일치한다. 계산적 근사와 자기참조 고정점 구성은 동일한 순서론적 요구를 공유하며, 이로부터 pointed dcpo (L, ≤, ⊥)가 본 연구의 작업 공간으로 자연스럽게 도입된다. 본 연구는 이 틀 위에서 단일 순서 방향의 자기참조 연산자에 대해 고정점의 존재·유일성·최소성이 수렴, 임계성, 단조성 붕괴의 조건과 어떻게 결합되는지를 규명한다.