Por um comutador coprimo em um grupo profinito G, entendemos qualquer elemento da forma x, y, onde x, y pertencem a G e (|x|, |y|) =1. É bem conhecido que o subgrupo gerado pelos comutadores coprimos de G é precisamente o residual pronilpotente γ_ (G). Existem vários trabalhos recentes que mostram que as condições de finitude sobre o conjunto de comutadores coprimos têm um forte impacto nas propriedades de γ_ (G) e, mais geralmente, na estrutura de G. Neste artigo, mostramos que se o conjunto de comutadores coprimos de um grupo profinito G é coberto por contavelmente muitos subgrupos procíclicos, então γ_ (G) é finito por procíclico. Em particular, segue-se que G é finito por pronilpotente por abeliano.
Acciarri et al. (Sat,) estudaram esta questão.