O Uso de Splines Polinomiais e Seus Produtos Tensoriais na Estimação de Funções Multivariadas

Sejam X₁, , XM, Y₁, , YN variáveis aleatórias, e defina X = (X₁, , XM) e Y = (Y₁, , YN). Seja a função de regressão, logística ou de Poisson de Y em relação a X (N = 1) ou o logaritmo da função de densidade de Y ou a função de densidade condicional de Y em relação a X. Considere a aproximação ^ para ter uma forma adequadamente definida envolvendo uma soma especificada de funções de no máximo d das variáveis x₁, , xM, y₁, , yN e, sujeita a essa forma, selecionada para minimizar o erro quadrático médio da aproximação ou para maximizar a log-verossimilhança esperada ou a log-verossimilhança condicional, conforme apropriado, dado a escolha de. Seja p um limite inferior adequadamente definido para a suavidade dos componentes de ^. Considere uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição conjunta de X e Y. Sob condições adequadas, o método dos mínimos quadrados ou de máxima verossimilhança é aplicado a um modelo envolvendo somas de produtos tensoriais de splines polinomiais selecionados de forma não adaptativa para construir estimativas de ^ e seus componentes tendo a taxa de convergência L₂ n^-p/(2p + d).