学习具有粗糙系数的非线性椭圆 PDE 的局部 Dirichlet 到 Neumann 映射

涉及高对比度和振荡系数的偏微分方程 (PDE) 在科学和工业应用中很常见。这些 PDE 的数值近似是一个具有挑战性的任务，可以通过多尺度有限元分析来解决。例如，对于线性问题，多尺度有限元方法（MsFEM）是成熟的，并且对非线性 PDE 的一些可行扩展已经被知晓。然而，该方法的一些特征似乎本质上基于线性。特别是，传统的 MsFEM 依赖于计算的重用。例如，刚度矩阵可以只计算一次，并在多个右侧上使用，或作为多级迭代算法的一部分。粗略来说，该方法的离线阶段相当于预组装局部线性 Dirichlet 到 Neumann (DtN) 运算符。我们呈现了一些初步结果，涉及将 MsFEM 与机器学习工具的结合。通过学习局部非线性 DtN 映射实现了 MsFEM 对非线性问题的扩展。基于学习的多尺度方法在一组涉及 p-Laplacian 和退化非线性扩散的模型非线性 PDE 上进行测试。