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我们重新审视了 Berlin-Kac 的球面模型与自旋 O (N) 模型在 N 极限下的关系，并解释它们如何通过离散高斯自由场 (GFF) 相关。更具体地说，利用概率极限定理和测度集中性，我们首先证明了在高温区域，d 维环面上球面模型的无穷体积极限是一个大质量 GFF，在临界温度下是一个标准 GFF，而在低温区域则是一个标准 GFF 加上一个 Rademacher 随机常数。临界温度情况下的证明似乎是新的，并且需要对环面上的零均值格林函数有精细的理解。对于自旋 O (N) 模型，我们在自旋维数和环面大小的双重极限下研究该模型。我们先让自旋维数 N 趋向无穷大，然后让环面的大小趋向无穷大，得到不同自旋坐标变成独立同分布（i.i.d.）场，其在高温区域的分布是一个大质量 GFF，在临界温度下是一个标准 GFF，而在低温区域是一个标准 GFF 加上一个高斯随机常数。特别地，这意味着尽管两个模型的每个点的极限自由能在所有温度下都相同，但它们在低温区域的实际有限维法则仍然在零模方面有所不同.
Aru 等 (周二) 研究了这个问题.