Expansion of IgANets to Localised Material Properties for Solid Mechanics

Klassische numerische Simulationsmethoden, darunter die Finite Elemente Methode (FEM), sind fest etabliert und bieten robuste, zuverlässige und genaue Lösungen für eine Vielzahl von technischen Problemen. Die isogeometrische Analyse (IGA) stellt einen bedeutenden Fortschritt dar, da sie die direkte Verwendung exakter Geometriebeschreibungen aus dem computergestützten Design (CAD) im Rahmen der Berechnung ermöglicht. Mit zunehmender Modellkomplexität und dem wachsenden Bedarf an schnellen Designiterationen können jedoch die Rechenkosten traditioneller FEM- und IGA-basierter Simulationen zu einer Einschränkung werden, insbesondere wenn nur kleine Designänderungen von Interesse sind. In solchen Szenarien sind schnelle und effiziente Lösungsmethoden erforderlich.Maschinelle Lernverfahren bieten eine vielversprechende Alternative, da sie eine schnelle Auswertung ähnlicher Probleme ermöglichen, sobald ein Modell passend trainiert wurde. Werden die zugrunde liegenden physikalischen Gesetze explizit in den Trainingsprozess integriert, spricht man von physics-informed machine learning, bei dem die physikalischen Grundlagen dem Modell als zusätzliche Information zur Verfügung gestellt werden.IGANets kombinieren die geometrische Genauigkeit und Glattheit der Basisfunktionen der isogeometrischen Analyse mit einem physics-infomed Netzwerk, wodurch exakte Darstellungen und physikalische Gesetze direkt in den Lösungsprozess einbezogen werden können. Dies führt zu einer effizienten Lösungsstrategie, die bereits erfolgreich an Problemen wie der Poisson-Gleichung und der linearen Elastizität mit homogenen Materialeigenschaften angewendet wurde und sowohl Genauigkeit als auch Recheneffizienz unter Beweis gestellt hat.Das Ziel dieser Arbeit ist es, IGANets auf mechanische Probleme mit inhomogenen Materialverteilungen auszuweiten. Die maßgeblichen mechanischen Gleichungen werden berücksichtigt und ein splinebasierter Ansatz zur Modellierung lokalisierter Materialeigenschaften innerhalb des IGANets-Frameworks entwickelt. Diese Implementierung wird anschließend auf ein Optimierungsproblem mit lokal variierendem Material angewendet. Ferner werden mehrere numerische Beispiele vorgestellt, um die Methode zu validieren und ihr Potenzial für die Optimierung einer lokal variierenden Materialverteilung aufzuzeigen. Die Ergebnisse bestätigen die Gültigkeit der Implementierung innerhalb eines eingeschränkten Anwendungsbereichs und zeigen, dass mechanische Probleme mit lokalisierten Materialeigenschaften mit angemessener Genauigkeit gelöst werden können. Darüber hinaus liefert das Optimierungsbeispiel physikalisch plausible Ergebnisse, dies unterstreicht die Anwendbarkeit des Ansatzes.