变分问题与其占据测度放松之间的差距

最近的研究提出了基于占据测度形式的方法，对受非线性 PDE 约束的变分优化问题进行线性规划放松。这些方法的主要吸引力在于它们依赖于凸优化，通常是半正定规划。在这项工作中，我们解决了与这种方法相关的一个未解问题。我们证明，当未知函数的值域维度等于一时，经典极小值和放松极小值重合，适用于变分法和最优控制问题，从而补充了先前在定义域维度等于一的情况下存在的类似结果。为了做到这一点，我们证明了 Hardt--Pitts 正常流的分解的一般化，该分解适用于我们的设定，具体针对值域维度等于一的情况。我们还通过反例展示了，如果定义域和值域的维度都大于一，可能会存在正的差距。最后，我们表明在存在积分约束的情况下，正的差距可能出现在定义域和值域的任何维度。