设0 < α < 1，定义eₙ(x):=xⁿ/(n+1)对于n≥0。我们证明代数直和G_^alg: =₍=₀^Ceₙ是一个显著的α-分级单项式空间，其中阶Riemann--Liouville积分J_: =₀ Iₓ^和阶Caputo导数C_: =₀^CDₓ^作为单边位移对作用，即J_ eₙ=e₍+₁对于n≥0，C_ e₀=0，C_ eₙ=e₍-₁对于n≥1。因此，C_ J_=I，J_ C_=I-₀，和C_, J_=₀，其中₀表示投影到真空分量。我们进一步建立了唯一性定理：在具有一维齐次分量的分级单项式链中，G_^alg是唯一的链（仅在整个基底乘以一个非零标量的情况下），J_和C_作为正向和反向位移作用，并具有真空湮灭。最后，对于每个m，我们证明在所有的G_^alg上J_ᵐ=₀ Iₓ^m，而C_ᵐ=₀^CDₓ^m在尾部子空间G_^ (m): =₍=₌^Ceₙ上成立。因此，Caputo导数的满半群性质的失效恰好局限于一个有限维低级缺陷领域。
Ariel Daley（公孙）研究了这个问题。