我们研究了在特征为 p 和阶数为 q5 的有限可交换局部环 R 上长度为 n 的 λ-常系数循环码，其中 q=pm 为奇素数的幂，且其 Jacobson 根 N 满足 N3=0≠N2，并且在互质条件 gcd(n,p)=1 下。在这种情况下，恰好出现两种根类型，分别为 (3,1) 和 (2,2)，由 N/N2 和 N2 的维度决定。对每种类型，我们提供了底层环的明确定义，并分析了环境代数 Aλ=RX/⟨Xn−λ⟩ 的诱导根过滤。我们证明了每个 λ-常系数循环码可以通过其在 Aλ/J(Aλ) 中的剩余分量以及来自根链 J(Aλ)⊃J(Aλ)2⊃0 的两个扭转分量唯一确定。这个剩余-扭转分解产生了显式生成集；特别是，每个 λ-常系数循环码都有一个最多包含五个元素的生成集。此外，我们推导出所有 λ-常系数循环码的精确枚举公式。在类型 (2,2) 的情况下，枚举受制于中国剩余定理的剩余域上的线性代数约束，而在非各向同性类中，依赖于由扩展度决定的二次特征值。在类型 (3,1) 的情况下，枚举由诱导的对称双线性形式在顶层根的维度控制，等价于关联的标准矩阵的秩类。
Saif 等 (Thu,) 研究了这个问题。