在本文中，我们介绍了两种概率测度的分析变形，这两种变形统一并扩展了自由概率理论中的两种经典变形，即 T=(s,t)-变形 UT 和 Ta-变形，其中 a,t∈R 且 s>0。相应的算子，记为 Y(a,s,t)′ 和 Y(a,s,t)′′，通过涉及 Cauchy–Stieltjes 变换 (CST) 的函数方程定义。该框架恢复了经典情况，尤其是 Y(0,s,t)′=Y(0,s,t)′′=UT 和 Y(a,1,1)′=Y(a,1,1)′′=Ta。我们分析了算子 Y(a,s,t)′ 和 Y(a,s,t)′′ 在 Cauchy–Stieltjes 核 (CSK) 家族中的分析和结构性质，特别强调它们对方差函数 (VFs) 的作用。特别地，我们推导了与通过 Y(a,s,t)′ 和 Y(a,s,t)′′ 变形的测度相关的方差函数的显式公式。作为应用，我们建立了一个不变性性质，表明自由 Meixner 家族 (FMF) 在这两种变形下是稳定的。此外，通过将参数限制在 Y(a,1,t)′ 和 Y(a,1,t)′′，我们得到了半圆法则的两种新特征。这些结果突显了对称性在分析变形和自由概率中基本分布的稳定性属性中的作用。
Fakhfakh 等人 (Fri,) 研究了这个问题。