关于矩阵乘法和其他对称张量的边界秩分解几何

我们提出了一种通过局部代数几何研究对称张量的新方法。此类张量的边界秩分解——特别是矩阵乘法和行列式多项式——以家族的形式出现。我们证明这些家族包含具有标准形式的代表。这些标准形式将有助于证明较低复杂度的界限，甚至可能确定新的分解。我们推导出了一种边界秩版本的替代方法，用于证明张量秩的下界。应用这些方法，我们改善了矩阵乘法的边界秩下界。我们还指出了一些将对未来在张量的较低复杂度界限上取得进展构成重大障碍的困难，因为希尔伯特点方案的“复杂”结构。