按导体排列的 D₄ 场的数量

我们考虑四次数域族，其在 Q 上的正规闭包的 Galois 群同构于 D₄，即一个正方形的对称性。对于任何这样的场 L，可以关联到相应的二维不可约 Galois 表现的 Artin 导体，其像为 D₄。我们确定按导体排列的此类 D₄ -四次场的渐近数量，并显式计算领先项作为一个质量公式，验证 Kedlaya 和 Wood 的启发式。此外，我们还能够在有限数量的素数（有时是无限数量的素数）上施加任何局部分裂条件，因此，我们还计算按判别式排列的二次场的类群和窄类群中的四阶元素的渐近数量。传统上，有两种方法来计数四次场，结合算术不变量理论与数的几何技术，以及将 Kummer 理论与 L -函数方法结合使用。这两种策略在按导体排列的 D₄ -四次场的情况下失效，因为计数包含具有大判别式的二次子场的四次场是困难的。然而，当按导体排列时，我们利用 D₄ 的外同构所产生的额外代数结构，结合上述两种方法，获得精确的渐近结果。