# Mokrabela's Spectral Law — Version 3. 0 (Complete) **Author: ** Ahmed Mokrane **ORCID: ** 0009-0005-2319-6098 **Date: ** 2026-04-25 --- ## Description This archive contains the complete code, datasets, and numerical results supporting **Mokrabela's Spectral Law**, a large-scale computational study of the normalized Chebyshev remainder. The reconstruction uses up to **300, 000 non-trivial zeros** of the Riemann zeta function and data over **70 million prime numbers**, making this one of the largest numerical spectral analyses of this type. --- ## Main Contributions The study provides substantial numerical evidence for a structured spectral regime governed by the following empirical laws: | Law | Formula | Value ||-----|---------|-------|| **Spectral Power Law** | |Aₖ| ~ γₖ^α | α = -0. 933 ± 0. 015 || **Energy Stability (empirical) ** | (1/K) Σ Aₖ² = O (1) | ≈ 0. 045–0. 054 || **Convergence Law** | α (N) = -1 + κ / log N | κ ≈ 1. 02–1. 04 || **Stability Condition** | Mᵣequired ≈ √N / log N | — | --- ## Results (7 Experiments) | N | M | α | ‖R‖²/K | R² | GUE D ||---|---|---|---|---|---|| 500, 000 | 5, 000 | -0. 924 | 0. 0506 | 0. 508 | 0. 036 || 2, 000, 000 | 100, 000 | -0. 956 | 0. 0452 | 0. 572 | 0. 017 || 5, 000, 000 | 150, 000 | -0. 944 | 0. 0470 | 0. 565 | 0. 017 || 8, 000, 000 | 200, 000 | -0. 920 | 0. 0484 | 0. 566 | 0. 017 || 15, 000, 000 | 230, 000 | -0. 938 | 0. 0438 | 0. 572 | 0. 017 || 50, 000, 000 | 250, 000 | -0. 928 | 0. 0538 | 0. 561 | 0. 030 || **70, 000, 000** | **300, 000** | **-0. 933** | **0. 0474** | **0. 569** | **0. 018** | --- ## Statistical Validation The spacing distribution of zeros is analyzed using the Kolmogorov–Smirnov test: - GUE test: D = 0. 018- Poisson test: D = 0. 548 These results are consistent with Gaussian Unitary Ensemble (GUE) statistics within numerical accuracy. --- ## Computational Scope - Up to 70 million primes- Up to 300, 000 Riemann zeros- Complexity: O (M × N) - Computations performed on consumer-grade hardware (Intel i5-7300U, Apple M3) --- Repository Structure ZenodoMokrabelaV3/├── README. md├── COMPUTATIONALCOST. md├── CITATION. cff├── LICENSE├── MokrabelaSpectralLawV3. pdf├── mokrabelaₛpectralₗaw. py├── data/│ ├── MokrabelaN500000M5000. xlsx│ ├── MokrabelaN2000000M100000. xlsx│ ├── MokrabelaN5000000M150000. xlsx│ ├── MokrabelaN8000000M200000. xlsx│ ├── MokrabelaN15000000M230000. xlsx│ ├── MokrabelaN50000000M250000. xlsx│ └── MokrabelaN70000000M300000₇0M₃00k. xlsx└── figures/├── Figure1SpectralDecay₇0M. png├── Figure2EnergyStability. png├── Figure3GUEValidationN15M. png└── Figure4ConvergenceFINAL. png --- --- ## Important Note All results are **empirical and numerical**. They do **not constitute a proof** of the Riemann Hypothesis but provide substantial computational evidence for its spectral consequences. --- ## License Creative Commons Attribution 4. 0 International (CC BY 4. 0) --- ## Citation Mokrane, A. (2026). Mokrabela's Spectral Law: Empirical Evidence for Power-Law Decay, Energy Stability, and GUE Correlations. Zenodo. https: //doi. org/10. 5281/zenodo. 19637493 --- # قانون مكرابلة الطيفي — الإصدار 3. 0 (الكامل) **المؤلف: ** أحمد مكرانة **ORCID: ** 0009-0005-2319-6098 **التاريخ: ** 2026-04-25 --- ## الوصف يحتوي هذا الأرشيف على الكود الكامل، البيانات، والنتائج العددية الداعمة لـ **قانون مكرابلة الطيفي**، وهو دراسة حسابية واسعة النطاق للباقي المُطبَّع لدالة تشيبيشيف. تم إجراء إعادة البناء الطيفي باستخدام ما يصل إلى **300, 000 صفر غير بديهي** لدالة زيتا لريمان، وعلى بيانات تمتد إلى **70 مليون عدد أولي**. --- ## المساهمات الرئيسية | القانون | الصيغة | القيمة ||---------|--------|--------|| **قانون القوة الطيفية** | |Aₖ| ~ γₖ^α | α = -0. 933 ± 0. 015 || **استقرار الطاقة (تجريبي) ** | (1/K) Σ Aₖ² = O (1) | ≈ 0. 045–0. 054 || **قانون التقارب** | α (N) = -1 + κ / log N | κ ≈ 1. 02–1. 04 || **شرط الاستقرار** | Mᵣequired ≈ √N / log N | — | --- ## النتائج (7 تجارب) | N | M | α | ‖R‖²/K | R² | GUE D ||---|---|---|---|---|---|| 500, 000 | 5, 000 | -0. 924 | 0. 0506 | 0. 508 | 0. 036 || 2, 000, 000 | 100, 000 | -0. 956 | 0. 0452 | 0. 572 | 0. 017 || 5, 000, 000 | 150, 000 | -0. 944 | 0. 0470 | 0. 565 | 0. 017 || 8, 000, 000 | 200, 000 | -0. 920 | 0. 0484 | 0. 566 | 0. 017 || 15, 000, 000 | 230, 000 | -0. 938 | 0. 0438 | 0. 572 | 0. 017 || 50, 000, 000 | 250, 000 | -0. 928 | 0. 0538 | 0. 561 | 0. 030 || **70, 000, 000** | **300, 000** | **-0. 933** | **0. 0474** | **0. 569** | **0. 018** | --- ## التحقق الإحصائي - GUE: D = 0. 018- Poisson: D = 0. 548 تتوافق النتائج مع إحصائيات Gaussian Unitary Ensemble (GUE). --- ## ملاحظة مهمة جميع النتائج **تجريبية وعددية**. لا تمثل برهاناً على فرضية ريمان، لكنها تقدم أدلة حسابية قوية على نتائجها الطيفية. --- ## الترخيص رخصة المشاع الإبداعي 4. 0 الدولية (CC BY 4. 0) --- ## الاقتباس مكرانة، أ. (2026). قانون مكرابلة الطيفي: أدلة تجريبية على انحلال قانون القوة واستقرار الطاقة وارتباطات GUE. Zenodo. https: //doi. org/10. 5281/zenodo. 19637493
Ahmed Mokrane (Sat,) studied this question.