用于非齐次扩散的 blob 方法及其在多智能体控制与采样中的应用

作为线性扩散方程经典随机粒子方法的对照，我们针对加权多孔介质方程（WPME）开发了一种确定性粒子方法，并证明了其在有界时间区间上的收敛性。这推广了关于非加权多孔介质方程 blob 方法的相关工作。从数值分析的角度来看，我们的方法具有若干优势：它是无网格的，保留了底层 PDE 的梯度流结构，在任意维度下均收敛，并在模拟中捕捉到了正确的渐近行为。我们的方法成功捕捉到 WPME 的长时间行为，这从量化相关问题的角度来看具有重要意义。正如 Fokker-Planck 方程通过根据随机 Langevin 动力学演化经验测度使经验测度流向 ρ 来提供对概率测度 ρ 进行量化的途径一样，我们的粒子方法通过逼近 WMPE 的确定性粒子动力学提供了一种量化 ρ 的途径。通过这种方式，我们的方法在多智能体覆盖算法和概率测度采样中具有天然的应用。我们方法的一个特例恰好对应于训练采用径向基函数激活函数的双层神经网络的受限平均场动力学。从这个角度来看，我们的收敛性结果表明，在过参数化机制下且当径向基函数的方差趋于零时，连续极限由 WPME 给出。这将先前考虑均匀数据分布情况的结果推广到了更一般的非齐次设定。作为我们收敛性结果的推论，我们确定了目标函数和数据分布的条件，在这些条件下，能量景观的凸性在连续极限中显现。