依赖于连续参数的随机过程

依赖于连续参数的随机过程有多种定义。常见的定义是基于一个物理系统或其他实体，该系统依赖于参数（时间），其状态由在某个空间中依据给定概率法则变化的点 Q = Q(t) 的位置来指定。在给定时间点，Q 落在给定点集中的概率被指定，或者，如果该过程是马尔可夫过程，则在时间 t+8（5>0）时，如果它在时间 i 时处于给定位置，则在给定点集中的概率被指定。巴谢利耶（I, II, III）是首位研究这些过程的学者。他的工作开创性且没有严谨性。大多数研究考察了马尔可夫过程的特定情况，或者称之为下文中的微分过程；即在不重叠区间中的变化 Q(t) 在通常的概率意义上相互独立。如果 Q 代表物理系统的状态，则物理系统与概率关系的结合应被视为随机过程。然而，这不是一个数学定义，而是对未明确说明的数学定义的具象化。有时 Q(T) 被简单地描述为根据给定概率法则变化的函数。|| 亨金（II）将随机过程定义为一参数的随机变量族。如果 Q 在 x 轴上变化，则这种过程的概率关系通过指定任何不等式集的概率来确定，该集合的形式为 * 提交给学会，1936 年 9 月 1 日；于 1936 年 8 月 23 日被编辑接受。f 罗马数字指的是文末的参考书目。该参考书目并不声称完整，仅涉及与本文密切相关的概率论文。t 参见霍斯廷斯基（I），亨金（III，第 24-59 页），科尔莫戈洛夫（IV）。霍斯廷斯基有一个长期的书目，包括对扩散问题的论文的引用，这些问题导致了对马尔可夫过程的研究。还有许多论文研究了 Q-Q(t) 只能有有限多个位置的马尔可夫过程。这些研究并没有探讨定义的具体困难，其中许多在这个特定情况下并不存在，因此不会给出具体参考。巴谢利耶（I, II, III）；亨金（III，第 68-75 页）；科尔莫戈洛夫（I, II）；列维（II, III，以及在巴黎 Comptes Rendus 中的几篇论文，其结果在 II 中给出）；维纳（I，第 9 和 10 章，以及几篇早期论文，其结果在 I 中给出）。|| 菲内蒂（I, II）。107