Statistische Physik der Hauptminoren: Hohlraumansatz

Determinanten sind nützlich, um den Zustand eines interagierenden Systems von (effektiv) abstoßenden und unabhängigen Elementen darzustellen, wie Fermionen in einem Quantensystem und Trainingsproben in einem Lernproblem. Ein rechnerisch herausforderndes Problem besteht darin, die Summe der Potenzen der Hauptminoren einer Matrix zu berechnen, was relevant für das Studium kritischer Verhaltensweisen in quantenfermi-schen Systemen und das Finden einer Teilmenge maximal informativer Trainingsdaten für einen Lernalgorithmus ist. Insbesondere können Hauptminoren positiver quadratischer Matrizen als statistische Gewichte eines zufälligen Punktprozesses auf der Menge der Matrixindizes betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit jeder Teilmenge der Indizes ist im Allgemeinen proportional zu einer positiven Potenz der Determinante der zugehörigen Untermatrix. Wir verwenden die gaußsche Darstellung der Determinanten für symmetrische und positive Matrizen, um die Partitionfunktion (oder freie Energie) und die Entropie der Hauptminoren innerhalb der Bethe-Näherung zu schätzen. Die Ergebnisse werden asymptotisch genau für diagonal dominante Matrizen mit lokal baumartigen Strukturen erwartet. Wir betrachten die Laplace-Matrix zufälliger regulärer Graphen der Grade K=2, 3, 4 und charakterisieren genau die Struktur der relevanten Minoren in einem Mean-Field-Modell solcher Matrizen. Es wird in dieser Klasse diagonal dominanter Matrizen kein (endlich-temperierter) Phasenübergang beobachtet, wenn die positive Potenz der Hauptminoren erhöht wird, die hier die Rolle einer inversen Temperatur spielt.