Eine maximale Likelihood-Schätzung von L\'evy-gesteuerten stochastischen Systemen für univariate und multivariate Zeitreihen von Beobachtungen

Die Literatur ist voller Inferenztechniken, die entwickelt wurden, um die Parameter stochastischer dynamischer Systeme zu schätzen, die durch das bekannte Brownsche Rauschen gesteuert werden. Solche Diffusionsmodelle sind oft ungeeignete Modelle, um die Dynamik, die in vielen realen Daten widergespiegelt wird, angemessen zu beschreiben, die von Sprungdiskontinuitäten verschiedener Größen und Frequenzen dominiert werden. Um die Präsenz von Sprüngen zu berücksichtigen, werden Sprung-Diffusionsmodelle eingeführt und einige Inferenztechniken entwickelt. Sprung-Diffusionsmodelle sind ebenfalls unzureichende Modelle, da sie die häufige Auftretensweise sowie das kontinuierliche Spektrum natürlicher Sprünge nicht widerspiegeln. Daher ist es entscheidend, von den klassischen stochastischen Systemen wie Diffusions- und Sprung-Diffusionsmodellen abzuweichen und auf stochastische Systeme zurückzugreifen, bei denen das Regime der Stochastizität durch die stochastischen Schwankungen vom L\'evy-Typ bestimmt wird. Die Rekonstruktion von L\'evy-gesteuerten dynamischen Systemen war jedoch eine große Herausforderung. Die Literatur zur Rekonstruktion von L\'evy-gesteuerten Systemen ist eher schwach: Es gibt nur wenige Rekonstruktionsalgorithmen, die unter einem oder mehreren Problemen leiden, wie etwa datenhungrig zu sein, keine vollständige Rekonstruktion der Rauschparameter zu bieten, nur einige spezifische Systeme zu behandeln, realitätsnahe multivariate Daten nicht bewältigen zu können, an geeigneten Validierungsmechanismen zu fehlen und vieles mehr. Dieses Schreiben führt ein Verfahren zur maximalen Likelihood-Schätzung ein, das eine vollständige Rekonstruktion des Systems ermöglicht, weniger Daten benötigt und dessen Implementierung für multivariate Daten recht unkompliziert ist. Nach bestem Wissen ist dieser Beitrag der erste, der alle genannten Mängel anspricht. Wir wenden unseren Algorithmus auf simulierte Daten sowie auf einen Eisbohrdaten-Datensatz an, der sich über die letzte Vergletscherung erstreckt. Insbesondere finden wir neue Einsichten über die Dynamik des Klimas während der letzten Vergletscherung, die in früheren Studien nicht entdeckt wurden.