Von schweren-taillierten Booleschen Modellen zu skalierfreien Gilbert-Grafen

Definiere den skalierfreien Gilbert-Grafen basierend auf einem Booleschen Modell mit schwer-taillierter Radiusverteilung auf dem d-dimensionalen Torus, indem zwei Zentren von Kugeln durch eine Kante verbunden werden, wenn mindestens eine der Kugeln das Zentrum der anderen enthält. Wir untersuchen zwei asymptotische Eigenschaften dieses Grafen, wenn die Größe des Torus gegen unendlich tendiert. Zunächst bestimmen wir den Schwanzindex, der mit der asymptotischen Verteilung der Summe aller leistungsgewichteten eingehenden und ausgehenden Kantenlängen an einem zufällig gewählten Knoten verbunden ist. Zweitens studieren wir das Verhalten chemischer Distanzen auf skalierfreien Gilbert-Grafen und zeigen die Existenz verschiedener Regime, abhängig vom Schwanzindex der Radiusverteilung. Trotz einiger Ähnlichkeiten mit Langstreckenperkolation und ultra-kleinen skalierfreien geometrischen Netzwerken sind skalierfreie Gilbert-Grafen tatsächlich enger mit fraktaler Perkolation verwandt, und diese Verbindung führt zu unterschiedlichen Skalierungsgrenzen. Wir schlagen auch eine Modifikation des Grafen vor, bei der die Gesamtzahl der Kanten erheblich reduziert werden kann, um Kosten in Form eines logarithmischen Faktors in den chemischen Distanzen einzuführen.