Triptych-GUT V7 — An Algebraic, Spectral and Fixed-Point Dynamical Framework for Grand Unification with a Single Dimensional Calibration. Spectral closure of ζgravTC = 15/13 and ΔI = 217/360 as a structure theorem under the incidence axiom

DESCRIPTION EN Triptych-GUT V7 is a revised and extended version of GUT V6. 1 (DOI: 10. 5281/zenodo. 20567537), itself correcting GUT V6 (DOI: 10. 5281/zenodo. 20554534). It retains all results of V6. 1 and adds a new Section 6 that establishes ΔI = 217/360 as a structure theorem under an explicitly named incidence axiom, rather than a coherent counting as in V6/V6. 1. V7 additions (Section 6). A single structural axiom is introduced: Incidence axiom Aᵢnc: the spectral incidence space of the PS → SM transition is HBL = H₃1 ⊗ H₇. Under this axiom, the number 217 is no longer adjusted or merely observed: it is forced by (i) the Littlewood-Richardson theorem applied to SU (4), (ii) the spectral projectors P₃1 and P₇, and (iii) the Casimir disjointness condition. Littlewood-Richardson theorem ESTAB by LR. For SU (4) C, in Young notation: (2) ⊗ (2, 2) = (4, 2) ⊕ (3, 2, 1) ⊕ (2, 2, 2), equivalently 2, 0, 0 ⊗ 0, 2, 0 = 2, 2, 0 ⊕ 1, 1, 1 ⊕ 0, 0, 2, with dimensions 10 × 20 = 200 = 126 + 64 + 10. Each irrep appears with multiplicity 1. The 27-plet 27Q=+2 originates from the sector (2, 0) Q=+2/3 ⊗ (0, 2) Q=+4/3 with C₂SU (3) = 8. Matter/gauge separation ESTAB. The Casimir disjointness 0, 4/3, 8 ∩ 3 = ∅ and charge disjointness -1, 1/3, 2 ∩ 0 = ∅, combined with GPS-invariance of STC and Schur’s lemma, give PBL|Hₘatter = P₃1 and PBL|Hgauge = P₇ ESTAB. The tensor product factorisation PBL = P₃1ᵐatter ⊗ P₇ᵍauge follows conditionally under Aᵢnc ESTAB cond. . Incidence trace EXACT SymPy under Aᵢnc. Tr (PBL) = Tr (P₃1) × Tr (P₇) = 31 × 7 = 217, hence ΔI = 217/360 ESTAB under Aᵢnc. Status upgrades: Tr (P₃1) = 27 + 3 + 1 = 31 passes from ESTAB cond. to EXACT SymPy under H₃1; Tr (PBL) = 217 from ESTAB cond. to EXACT SymPy under Aᵢnc. V6. 1 and V6 content (retained). All results of V6. 1 are preserved: ζgravTC = 15/13 ESTAB; vTCᶜonj = 246. 219 785 GeV (−0. 87 ppm vs vPDG). The spectral projector PBL with Tr (PBL) = 217 = 31 × 7, UV stability theorem, and metrological analysis of δs = −2. 63×10⁻⁴ are all retained. The former V6. 1 open point concerning the upgrade of P₃1 is closed: Tr (P₃1) = 27 + 3 + 1 = 31 is now EXACT SymPy under H₃1. The remaining structural assumption is no longer a missing calculation but the explicitly named incidence axiom Aᵢnc: HBL = H₃1 ⊗ H₇. The remaining open points are: (i) formal exclusion of non-admissible UV corrections (σ²R_μν R^μν couplings) ; (ii) general proof of the TC index condition beyond the classical regime; (iii) structural status of Aᵢnc: HBL = H₃1 ⊗ H₇ beyond its defining role as the PS → SM spectral incidence space; (iv) future GN metrology. DESCRIPTION FR Triptyque-GUT V7 est une version révisée et étendue de GUT V6. 1 (DOI: 10. 5281/zenodo. 20567537), elle-même corrigeant GUT V6 (DOI: 10. 5281/zenodo. 20554534). Elle conserve tous les résultats de V6. 1 et ajoute un nouveau §6 qui établit ΔI = 217/360 comme théorème de structure sous un axiome d’incidence explicitement nommé, plutôt que comme comptage cohérent comme dans V6/V6. 1. Apports V7 (§6). Un unique axiome structurel est introduit: Axiome d’incidence Aᵢnc: l’espace spectral d’incidence de la transition PS → SM est HBL = H₃1 ⊗ H₇. Sous cet axiome, le nombre 217 n’est plus ajusté ni simplement observé: il est forcé par (i) le théorème de Littlewood-Richardson appliqué à SU (4), (ii) les projecteurs spectraux P₃1 et P₇, et (iii) la disjonction des Casimirs. Théorème de Littlewood-Richardson ÉTAB par LR. Pour SU (4) C, en notations de Young: (2) ⊗ (2, 2) = (4, 2) ⊕ (3, 2, 1) ⊕ (2, 2, 2), soit 2, 0, 0 ⊗ 0, 2, 0 = 2, 2, 0 ⊕ 1, 1, 1 ⊕ 0, 0, 2, avec les dimensions 10 × 20 = 200 = 126 + 64 + 10. Chaque irrép apparaît avec multiplicité 1. Le 27-plet 27Q=+2 est issu du secteur (2, 0) Q=+2/3 ⊗ (0, 2) Q=+4/3 avec C₂SU (3) = 8. Séparation matière/jauge ÉTAB. La disjonction des Casimirs 0, 4/3, 8 ∩ 3 = ∅ et des charges −1, 1/3, 2 ∩ 0 = ∅, combinée à la GPS-invariance de STC et au lemme de Schur, donnent PBL|Hₘatière = P₃1 et PBL|Hⱼauge = P₇ ÉTAB. La factorisation tensorielle PBL = P₃1ᵐatière ⊗ P₇ʲauge suit conditionnellement sous Aᵢnc ÉTAB cond. . Trace d’incidence EXACT SymPy sous Aᵢnc. Tr (PBL) = Tr (P₃1) × Tr (P₇) = 31 × 7 = 217, d’où ΔI = 217/360 ÉTAB sous Aᵢnc. Montées de statut: Tr (P₃1) = 27 + 3 + 1 = 31 passe de ÉTAB cond. à EXACT SymPy sous H₃1 ; Tr (PBL) = 217 de ÉTAB cond. à EXACT SymPy sous Aᵢnc. Contenu V6. 1 et V6 (conservé). Tous les résultats de V6. 1 sont préservés: ζgravTC = 15/13 ÉTAB ; vTCᶜonj = 246, 219 785 GeV (−0, 87 ppm vs vPDG). Le projecteur spectral PBL avec Tr (PBL) = 217 = 31 × 7, le théorème de stabilité UV, et l’analyse métrologique de δs = −2, 63×10⁻⁴ sont tous conservés. L’ancien point ouvert de V6. 1 concernant le passage de P₃1 à un statut établi est fermé: Tr (P₃1) = 27 + 3 + 1 = 31 est désormais EXACT SymPy sous H₃1. L’hypothèse résiduelle n’est plus un calcul manquant, mais l’axiome d’incidence explicitement nommé Aᵢnc: HBL = H₃1 ⊗ H₇. Les points ouverts restants sont: (i) l’exclusion formelle des corrections UV non admissibles (couplages σ²R_μν R^μν) ; (ii) la démonstration générale de la condition d’indice TC au-delà du régime classique ; (iii) le statut structurel de Aᵢnc: HBL = H₃1 ⊗ H₇ au-delà de son rôle définitoire d’espace spectral de transition PS → SM ; (iv) la confrontation aux futures mesures de GN.