Utilisation de l'intégration par parties pour dériver les équations d'équilibre poutre/plateau à partir de l'élasticité avec des applications aux poutres

Cet article propose une justification mathématique rigoureuse de la dérivation des équations gouvernantes de toute théorie des poutres et des plaques par les trois équations d'élasticité tridimensionnelles (3D). Cela est fait par l'application du théorème d'intégration par parties via des méthodes semblables aux résidus de poids. Les polynômes de Fis (les indices i et s désignent respectivement la direction i et le terme générique s de l'expansion de déplacement uis) liés à une théorie de poutre/plateau donnée sont utilisés comme fonctions de poids pour chacun des inconnues de déplacement. Pour montrer comment la méthode fonctionne, un certain nombre de problèmes simples sont discutés. Ceux-ci sont liés aux équations d'équilibre et aux conditions aux limites des poutres en flexion selon la théorie de la déformation par cisaillement. Trois méthodes pour obtenir ces équations sont comparées en détail. Les deux premières sont les méthodes bien connues utilisées en mécanique des corps déformables : (1) utilisation du Principe des Déplacements Virtuels ; (2) utilisation des six équations cardinales de 'Newton' de la statique. La troisième méthode coïncide avec celle proposée et rigoureusement justifiée dans cet article, qui est (3) l'intégration directe des équations d'élasticité 3D. Des théories de poutres basées sur des polynômes de Lagrange sont également utilisées. Ces dernières permettent de développer immédiatement des théories pour des poutres multicouches et d'obtenir des modèles dits 'couche par couche', qui ne sont appliqués ici qu'au cas des structures sandwich. Trois annexes discutent : A - Le problème dans lequel la dérivée de l'une des inconnues apparaît parmi les inconnues, comme c'est le cas avec la théorie d'Euler–Bernoulli ; B - L'extension à la dynamique ; C - Dérivation simple des équations constitutionnelles et solution analytique associée via la méthode de Navier.