Verwendung der partiierten Integration zur Ableitung von Gleichgewichtsgleichungen für Balken/Platten aus der Elastizität mit Anwendungen auf Balken

Dieser Artikel schlägt eine strenge mathematische Rechtfertigung der Ableitung der governing equations jeder Balken- und Plattentheorie aus den drei dreidimensionalen (3D) Elastizitätsgleichungen vor. Dies geschieht durch die Anwendung des Satzes der partiellen Integration mittels gewichteter Residuum-ähnlicher Methoden. Die Fis-Polynome (die Indizes i und s bezeichnen die i-Richtung und den allgemeinen s-Term der Verschiebungserweiterung uis) in Bezug auf eine gegebene Balken-/Plattentheorie werden als Gewichtsfunktionen für jede der unbekannten Verschiebungen verwendet. Um zu zeigen, wie die Methode funktioniert, werden eine Anzahl einfacher Probleme diskutiert. Diese stehen im Zusammenhang mit den Gleichgewichtsgleichungen und Randbedingungen von durch Biegung deformierten Balken entsprechend der Scherdeformationstheorie. Drei Methoden zur Obtaining dieser Gleichungen werden im Detail verglichen. Die ersten beiden sind die bekannten Methoden, die in der Mechanik deformierbarer Körper verwendet werden: (1) Verwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen; (2) Verwendung der sechs kardinalen 'Newton'-Gleichungen der Statik. Die dritte Methode stimmt mit der überein, die in diesem Papier vorgeschlagen und rigoros gerechtfertigt wurde, und zwar (3) die direkte Integration der Gleichungen der 3D-Elastizität. Auch Balkentheorien, die auf Lagrange-Polynomen basieren, werden verwendet. Letztere ermöglichen es, sofort Theorien für geschichtete Balken zu entwickeln und sogenannte 'schichtweise' Modelle zu erhalten, die hier nur auf den Fall von Sandwichstrukturen angewendet werden. Drei Anhänge diskutieren: A – Das Problem, bei dem die Ableitung einer der Unbekannten unter den Unbekannten erscheint, wie es bei der Euler–Bernoulli-Theorie der Fall ist; B – Die Erweiterung auf die Dynamik; C – Einfache Ableitung der konstitutiven Gleichungen und verwandte geschlossene Lösungen über die Navier-Methode.