Sur la nature des nombres premiers : un automate S-adique déterministe, endogène et non-stationnaire pour le crible d'Eratosthène

Nous présentons un automate S-adique déterministe, endogène et non-stationnaire qui réalise le crible d'Eratosthène comme un système dynamique symbolique sur un alphabet fini. Son évolution est régie par trois opérateurs : décalage, expansion et filtrage, agissant sur une bande symbolique croissante, et il reproduit la classification classique des premiers et des composés pour chaque entier n ≥ 2. Un résultat central est la zone de stabilité SZn = n + 1, 2n - 1, un intervalle dans lequel l'état symbolique est prouvablement immunisé contre toutes les étapes de filtrage ultérieures. Cela donne une stabilité ponctuelle de l'encodage des premiers et rend possible une vérification expérimentale à grande échelle grâce à une technique de fenêtre gelée, que nous mettons en œuvre jusqu'à n = 250 000. La bande présente également une sous-structure canonique à quatre lettres a, b, c, d régie par des règles de substitution explicites dépendantes des premiers et une matrice de transition triangulaire supérieure Mp. L'automate n'est pas destiné à être un générateur de nombres premiers efficace, mais comme un instrument de recherche symbolique permettant d'accéder aux propriétés arithmétiques des nombres naturels pour une analyse combinatoire et dynamique.