Blowing-up solutions concentrated along minimal submanifolds for some supercritical Hamiltonian systems on Riemannian manifolds

Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>g</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> ({{ { M} }},g) and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> ({K},κ ) be two Riemannian manifolds of dimensions <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>N</m:mi> </m:math> N and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>m</m:mi> </m:math> m , respectively. Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>ω</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> ω ∈ {C}²({{ { M} }}) satisfy <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>ω</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> ω > 0 . The warped product <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> </m:math> {{ { M} }}{× }ω{K} is the <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> (N+m) -dimensional product manifold <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> </m:math> {{ { M} }}× {K} equipped with the metric <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:math> g+{ω }²κ . We consider the following elliptic system: (1) <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>h</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>α</m:mi> <m:mi>ε</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mstyle> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mtext/> </m:mstyle> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>h</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>β</m:mi> <m:mi>ε</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mstyle> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mtext/> </m:mstyle> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mstyle> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mtext/> </m:mstyle> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> </m:math> \{{array}{ll}-{-0.03em}{Δ }_{g+{ω }²κ }u+h(x)u={v}p-α ε,& {0.1em}{in{0.5em}}{0.1em}({{ { M} }}{× }ω{K},g+{ω }²κ ),\\ -{Δ }_{g+{ω }²κ }v+h(x)v={u}q-β ε,& {0.1em}{in{0.5em}}{0.1em}({{ { M} }}{× }ω{K},g+{ω }²κ ),\\ u,v> 0,& {0.1em}{in{0.5em}}{0.1em}({{ { M} }}{× }ω{K},g+{ω }²κ ),{array}. where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">div</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>κ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> </m:math> {Δ }_{g+{ω }²κ }={{div}}_{g+{ω }²κ }∇ denotes the Laplace-Beltrami operator on <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> </m:math> {{ { M} }}{× }ω{K} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>h</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> h(x) is a <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {C}¹ -function on <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> </m:math> {{ { M} }}{× }ω{K} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>β</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> α ,β > 0 are the real numbers, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>ε</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> ε > 0 is a small parameter, and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>∞</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>×</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>∞</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> (p,q)∈ (1,+∞ )× (1,+∞ ) satisfies <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>+</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>=</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> </m:math> 1/p+1+1/q+1=N-2/N . For any integer <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:math> k≥ 2 , using the Lyapunov-Schmidt reduction, we prove that problem (1) admits a <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>k</m:mi> </m:math> k -peak solution concentrated along an <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>m</m:mi> </m:math> m -dimensional minimal submanifold of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>×</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {({{ { M} }}{× }ω{K})}ᵏ as <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>ε</m:mi> <m:mo>→</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> ε → 0 .