Capacity solutions for anisotropic variable exponent parabolic-elliptic systems with degenerate term

This paper focuses on establishing the existence of a capacity solution for the following anisotropic elliptic-parabolic system with variable exponent: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" rowspacing="0pt"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>t</m:mi> </m:msub> <m:mo rspace="0.055em">−</m:mo> <m:mrow> <m:munderover> <m:mo movablelimits="false" rspace="0em">∑</m:mo> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mi>d</m:mi> </m:munderover> <m:msub> <m:mrow> <m:mo maxsize="210%" minsize="210%">[</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:msub> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> </m:mfrac> <m:mo maxsize="210%" minsize="210%">]</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Θ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mo rspace="0.167em">∇</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mo lspace="0.500em">⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>Q</m:mi> <m:mi>T</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mi>div</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Θ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo lspace="0.167em">⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo rspace="0.167em">∇</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mo lspace="0.500em">⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>Q</m:mi> <m:mi>T</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo rspace="1.167em">,</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>on</m:mtext> <m:mo lspace="0.500em">⁢</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Γ</m:mi> </m:mrow> <m:mo rspace="0.1389em">=</m:mo> <m:mrow> <m:mo lspace="0.1389em" rspace="0em">∂</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mo lspace="0.500em">⁢</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> \{{aligned} {}uₜ-{∑ᵢ₌₁ᵈ}{[}{ u_{xᵢ}^{pᵢ(x)-2}u_{xᵢ}}{(1+ u)^{γ(pᵢ(x)-1)}}{]}_{xᵢ}&=Θ(u)∇ v²&&in\ QT=Ω×(0,T),\\ div(Θ(u)∇ v)&=0&&in\ QT,\\ u=0, v&=v₀&&on\ Γ=∂Ω×(0,T),\\ u(\,{·}\,,0)&=u₀&&in\ Ω,{aligned}. where Ω is an open bounded subset of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> <m:mi>d</m:mi> </m:msup> </m:math> Rᵈ with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>d</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:math> d>2 , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>Q</m:mi> <m:mi>T</m:mi> </m:msub> </m:math> QT is the cylinder <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Ω×(0,T) with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>T</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> T>0 , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo><</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo><</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> 0<γ<1 , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mover accent="true"> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo mathvariant="italic">̄</m:mo> </m:mover> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> pᵢ(Ω̄) for all <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>d</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> i=1,…,d , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Θ</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Θ(R) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> u₀∈ L²(Ω) , and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> <m:mo>;</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>H</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>∩</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>Q</m:mi> <m:mi>T</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> v₀∈ L²(0,T;H¹(Ω))∩ L∞(QT) .