Multiplicity results for sixth-order nonlinear elliptic equations involving the p ( x )-triharmonic operator with Navier conditions

We study the following nonlinear problem: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" rowspacing="0pt"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:msubsup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>on </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> \{{aligned} {}{-}Δ³ₚ₍ₓ₎u+|u|ᵖ⁽ˣ⁾⁻²u&% =λ a(x)f(x,u)+μ g(x,u)&&{}in % Ω,\\ u=Δ u=Δ²u&=0&&{}% on ∂Ω,{aligned}. where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>⊂</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:math> {ΩN}</jats:tex