Ground State Solutions for Quasilinear Schrödinger Equations with Critical Growth and Lower Power Subcritical Perturbation

We study the following generalized quasilinear Schrödinger equation: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>g</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo rspace="12.5pt">,</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> -(g²(u)∇ u)+g(u)g^{}(u)|∇ u|²+V(x)u=h(u), x∈% RN, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:math> {N≥ 3} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>:</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>→</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>+</m:mo> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {g⁺} is an even differentiable function such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {g^{}(t)≥ 0} for all <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {t≥ 0} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow>