Divisões de Heegaard e Cirurgias em 2- e 3-Manifolds

Resumo Uma divisão de Heegaard de um 3-manifold é uma representação dele como a união de dois corpos de alça com a mesma borda. Cada divisão é definida por um homeomorfismo de anexação entre as bordas desses dois corpos de alça. Discutimos a cirurgia em superfícies (2-manifolds) para explicar por que especificar precisamente g pares de curvas é suficiente para definir o homeomorfismo de anexação de duas superfícies de gênero-g. Em seguida, demonstramos certas divisões de Heegaard de manifolds como S3, S2 x S1 e T3 e oferecemos técnicas para visualizá-las. Observamos uma classificação simples de 3-manifolds compactos, fechados e orientáveis pelo gênero de Heegaard. Manifolds que admitem divisões de gênero-1 são também espaços de lente, que podem ser definidos como espaços quocientes particulares da 3-esfera S3. Finalmente, introduzimos a cirurgia de Dehn, um método pelo qual qualquer 3-manifold compacto, fechado e orientável pode ser obtido. A cirurgia de Dehn em S3 ao longo de um nó ou laço K envolve a remoção de uma vizinhança tubular aberta N(K), definindo um homeomorfismo de δ ¯N(K), e anexando a nova vizinhança ¯N′(K) à borda do complemento de N(K) em S3. Em geral, a cirurgia de Dehn ao longo do nó desfeiado produz um espaço de lente. Assim, discutimos métodos de obtenção, visualização e classificação de 3-manifolds e as conexões entre cirurgia e divisões de Heegaard.