q-Stirling sequence spaces associated with q-Bell numbers

In this study, we build <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>q</m:mi> </m:math> q -analog of the <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>q</m:mi> </m:math> q -Stirling matrix involved <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>q</m:mi> </m:math> q -Bell numbers <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {{S}}q=({S}ₙₖ(q)) defined by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>B</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mstyle> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>otherwise</m:mtext> <m:mo>.</m:mo> <m:mspace width="0.1em"/> </m:mstyle> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> {array}{r}{{S}}q=({S}ₙₖ(q))=\{{array}{ll}{{S}q(n,k)}{{B}q(n)},& 0≤ k≤ n,\\ 0,& {0.1em}otherwise.{0.1em}{array}.{array} Next, we define the sequence spaces <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>c</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> c({{S}}q) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {c}₀({{S}}q) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>ℓ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>∞</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> { }∞({{S}}q) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>ℓ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> { }ₚ({{S}}q) <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>p</m:mi> <m:mo><</m:mo> <m:mi>∞</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:math> (1≤ p< ∞ ) using this analog. Then, we provide some inclusion relations for these spaces and examine some topological characteristics. Furthermore, we construct a basis for the space <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>ℓ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">S</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> { }ₚ({{S}}q) , calculate <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>α</m:mi> </m:math> α -, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>β</m:mi> </m:math> β -, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>γ</m:mi> </m:math> γ -duals of the same space, and describe certain matrix classes.