Nonperturbative RG for the weak interaction corrections to the magnetic moment

We analyze, by rigorous renormalization group methods, a Fermi model for weak forces with a single family of leptons, one massless and the other with mass <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><a:mi>m</a:mi><a:mo>=</a:mo><a:mi>M</a:mi><a:msup><a:mi>e</a:mi><a:mrow><a:mo>−</a:mo><a:mi>β</a:mi></a:mrow></a:msup></a:math>, with <c:math xmlns:c="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><c:mi>M</c:mi></c:math> the gauge boson mass, a quartic nonlocal interaction with coupling <e:math xmlns:e="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><e:msup><e:mi>λ</e:mi><e:mn>2</e:mn></e:msup></e:math>, and a momentum cutoff <g:math xmlns:g="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><g:mi mathvariant="normal">Λ</g:mi></g:math>. The magnetic moment is written as a series in <j:math xmlns:j="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><j:msup><j:mi>λ</j:mi><j:mn>2</j:mn></j:msup></j:math>, with <l:math xmlns:l="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><l:mrow><l:mi>n</l:mi></l:mrow></l:math>-th coefficients bounded by <n:math xmlns:n="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><n:msup><n:mi>C</n:mi><n:mi>n</n:mi></n:msup><n:mo stretchy="false">(</n:mo><n:mfrac><n:msup><n:mi>m</n:mi><n:mn>2</n:mn></n:msup><n:msup><n:mi>M</n:mi><n:mn>2</n:mn></n:msup></n:mfrac><n:mo stretchy="false">)</n:mo><n:msup><n:mi>β</n:mi><n:mrow><n:mn>2</n:mn><n:mi>n</n:mi></n:mrow></n:msup><n:mo stretchy="false">(</n:mo><n:mfrac><n:msup><n:mi mathvariant="normal">Λ</n:mi><n:mn>2</n:mn></n:msup><n:msup><n:mi>M</n:mi><n:mn>2</n:mn></n:msup></n:mfrac><n:msup><n:mo stretchy="false">)</n:mo><n:mrow><n:mo stretchy="false">(</n:mo><n:mn>1</n:mn><n:mo>+</n:mo><n:msup><n:mn>0</n:mn><n:mo>+</n:mo></n:msup><n:mo stretchy="false">)</n:mo><n:mo stretchy="false">(</n:mo><n:mi>n</n:mi><n:mo>−</n:mo><n:mn>1</n:mn><n:mo stretchy="false">)</n:mo></n:mrow></n:msup></n:math> if <y:math xmlns:y="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><y:mi>C</y:mi></y:math> is a constant; this implies convergence and provides nonperturbative bounds on the higher order contributions. The fact that the magnetic moment is associated with a dimensionally irrelevant quantity requires the implementation of cancellations in the multiscale analysis.