b¯c susceptibilities from fully relativistic lattice QCD

We compute the <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><a:mover accent="true"><a:mi>h</a:mi><a:mo stretchy="false">¯</a:mo></a:mover><a:mi>c</a:mi></a:math> (pseudo)scalar, (axial-)vector and (axial-)tensor susceptibilities as a function of <e:math xmlns:e="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><e:mrow><e:mi>u</e:mi><e:mo>=</e:mo><e:msub><e:mrow><e:mi>m</e:mi></e:mrow><e:mrow><e:mi>c</e:mi></e:mrow></e:msub><e:mo>/</e:mo><e:msub><e:mrow><e:mi>m</e:mi></e:mrow><e:mrow><e:mi>h</e:mi></e:mrow></e:msub></e:mrow></e:math> between <g:math xmlns:g="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><g:mi>u</g:mi><g:mo>=</g:mo><g:msub><g:mi>m</g:mi><g:mi>c</g:mi></g:msub><g:mo>/</g:mo><g:msub><g:mi>m</g:mi><g:mi>b</g:mi></g:msub></g:math> and <i:math xmlns:i="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><i:mi>u</i:mi><i:mo>=</i:mo><i:mn>0.8</i:mn></i:math> using fully relativistic lattice QCD, employing nonperturbative current renormalization and using the second generation <k:math xmlns:k="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><k:mn>2</k:mn><k:mo>+</k:mo><k:mn>1</k:mn><k:mo>+</k:mo><k:mn>1</k:mn></k:math> MILC HISQ gluon field configurations. We include ensembles with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><m:mi>a</m:mi><m:mo>≈</m:mo><m:mn>0.09</m:mn></m:math>, 0.06, 0.045, and 0.033 fm and we are able to reach the physical <o:math xmlns:o="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><o:mi>b</o:mi></o:math>-quark on the two finest ensembles. At the physical <q:math xmlns:q="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><q:msub><q:mi>m</q:mi><q:mi>h</q:mi></q:msub><q:mo>=</q:mo><q:msub><q:mi>m</q:mi><q:mi>b</q:mi></q:msub></q:math> point we find <s:math xmlns:s="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><s:mrow><s:msubsup><s:mrow><s:mover accent="true"><s:mrow><s:mi>m</s:mi></s:mrow><s:mrow><s:mo stretchy="true">¯</s:mo></s:mrow></s:mover></s:mrow><s:mrow><s:mi>b</s:mi></s:mrow><s:mrow><s:mn>2</s:mn></s:mrow></s:msubsup><s:msub><s:mrow><s:mi>χ</s:mi></s:mrow><s:mrow><s:msup><s:mrow><s:mn>1</s:mn></s:mrow><s:mrow><s:mo>+</s:mo></s:mrow></s:msup></s:mrow></s:msub><s:mo>=</s:mo><s:mspace linebreak="goodbreak"/><s:mn>0.720</s:mn><s:mo stretchy="false">(</s:mo><s:mn>34</s:mn><s:mo stretchy="false">)</s:mo><s:mo>×</s:mo><s:msup><s:mrow><s:mn>10</s:mn></s:mrow><s:mrow><s:mo>−</s:mo><s:mn>2</s:mn></s:mrow></s:msup></s:mrow></s:math>, <z:math xmlns:z="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><z:mrow><z:msubsup><z:mrow><z:mover accent="true"><z:mrow><z:mi>m</z:mi></z:mrow><z:mrow><z:mo stretchy="true">¯</z:mo></z:mrow></z:mover></z:mrow><z:mrow><z:mi>b</z:mi></z:mrow><z:mrow><z:mn>2</z:mn></z:mrow></z:msubsup><z:msub><z:mrow><z:mi>χ</z:mi></z:mrow><z:mrow><z:msup><z:mrow><z:mn>1</z:mn></z:mrow><z:mrow><z:mo>−</z:mo></z:mrow></z:msup></z:mrow></z:msub><z:mo>=</z:mo><z:mn>1.161</z:mn><z:mo stretchy="false">(</z:mo><z:mn>54</z:mn><z:mo stretchy="false">)</z:mo><z:mo>×</z:mo><z:msup><z:mrow><z:mn>10</z:mn></z:mrow><z:mrow><z:mo>−</z:mo><z:mn>2</z:mn></z:mrow></z:msup></z:mrow></z:math>, <fb:math xmlns:fb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><fb:mrow><fb:msub><fb:mrow><fb:mi>χ</fb:mi></fb:mrow><fb:mrow><fb:msup><fb:mrow><fb:mn>0</fb:mn></fb:mrow><fb:mrow><fb:mo>−</fb:mo></fb:mrow></fb:msup></fb:mrow></fb:msub><fb:mo>=</fb:mo><fb:mn>2.374</fb:mn><fb:mo stretchy="false">(</fb:mo><fb:mn>33</fb:mn><fb:mo stretchy="false">)</fb:mo><fb:mo>×</fb:mo><fb:msup><fb:mrow><fb:mn>10</fb:mn></fb:mrow><fb:mrow><fb:mo>−</fb:mo><fb:mn>2</fb:mn></fb:mrow></fb:msup></fb:mrow></fb:math>, and <jb:math xmlns:jb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><jb:mrow><jb:msub><jb:mrow><jb:mi>χ</jb:mi></jb:mrow><jb:mrow><jb:msup><jb:mrow><jb:mn>0</jb:mn></jb:mrow><jb:mrow><jb:mo>+</jb:mo></jb:mrow></jb:msup></jb:mrow></jb:msub><jb:mo>=</jb:mo><jb:mn>0.609</jb:mn><jb:mo stretchy="false">(</jb:mo><jb:mn>14</jb:mn><jb:mo stretchy="false">)</jb:mo><jb:mo>×</jb:mo><jb:msup><jb:mrow><jb:mn>10</jb:mn></jb:mrow><jb:mrow><jb:mo>−</jb:mo><jb:mn>2</jb:mn></jb:mrow></jb:msup></jb:mrow></jb:math>. Our results for the (pseudo)scalar, vector, and axial vector are compatible with the expected small size of nonperturbative effects at <nb:math xmlns:nb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><nb:mi>u</nb:mi><nb:mo>=</nb:mo><nb:msub><nb:mi>m</nb:mi><nb:mi>c</nb:mi></nb:msub><nb:mo>/</nb:mo><nb:msub><nb:mi>m</nb:mi><nb:mi>b</nb:mi></nb:msub></nb:math>. We also give the first nonperturbative determination of the tensor susceptibilities, finding <pb:math xmlns:pb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><pb:mrow><pb:msubsup><pb:mrow><pb:mover accent="true"><pb:mrow><pb:mi>m</pb:mi></pb:mrow><pb:mrow><pb:mo stretchy="true">¯</pb:mo></pb:mrow></pb:mover></pb:mrow><pb:mrow><pb:mi>b</pb:mi></pb:mrow><pb:mrow><pb:mn>2</pb:mn></pb:mrow></pb:msubsup><pb:msub><pb:mrow><pb:mi>χ</pb:mi></pb:mrow><pb:mrow><pb:mi>T</pb:mi></pb:mrow></pb:msub><pb:mo>=</pb:mo><pb:mn>0.891</pb:mn><pb:mo stretchy="false">(</pb:mo><pb:mn>44</pb:mn><pb:mo stretchy="false">)</pb:mo><pb:mo>×</pb:mo><pb:msup><pb:mrow><pb:mn>10</pb:mn></pb:mrow><pb:mrow><pb:mo>−</pb:mo><pb:mn>2</pb:mn></pb:mrow></pb:msup></pb:mrow></pb:math> and <vb:math xmlns:vb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><vb:mrow><vb:msubsup><vb:mrow><vb:mover accent="true"><vb:mrow><vb:mi>m</vb:mi></vb:mrow><vb:mrow><vb:mo stretchy="true">¯</vb:mo></vb:mrow></vb:mover></vb:mrow><vb:mrow><vb:mi>b</vb:mi></vb:mrow><vb:mrow><vb:mn>2</vb:mn></vb:mrow></vb:msubsup><vb:msub><vb:mrow><vb:mi>χ</vb:mi></vb:mrow><vb:mrow><vb:mi>A</vb:mi><vb:mi>T</vb:mi></vb:mrow></vb:msub><vb:mo>=</vb:mo><vb:mn>0.441</vb:mn><vb:mo stretchy="false">(</vb:mo><vb:mn>33</vb:mn><vb:mo stretchy="false">)</vb:mo><vb:mo>×</vb:mo><vb:msup><vb:mrow><vb:mn>10</vb:mn></vb:mrow><vb:mrow><vb:mo>−</vb:mo><vb:mn>2</vb:mn></vb:mrow></vb:msup></vb:mrow></vb:math>. Our value of <bc:math xmlns:bc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><bc:mrow><bc:msubsup><bc:mrow><bc:mover accent="true"><bc:mrow><bc:mi>m</bc:mi></bc:mrow><bc:mrow><bc:mo stretchy="true">¯</bc:mo></bc:mrow></bc:mover></bc:mrow><bc:mrow><bc:mi>b</bc:mi></bc:mrow><bc:mrow><bc:mn>2</bc:mn></bc:mrow></bc:msubsup><bc:msub><bc:mrow><bc:mi>χ</bc:mi></bc:mrow><bc:mrow><bc:mi>A</bc:mi><bc:mi>T</bc:mi></bc:mrow></bc:msub></bc:mrow></bc:math> is in good agreement with the <fc:math xmlns:fc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><fc:mi mathvariant="script">O</fc:mi><fc:mo stretchy="false">(</fc:mo><fc:msub><fc:mi>α</fc:mi><fc:mi>s</fc:mi></fc:msub><fc:mo stretchy="false">)</fc:mo></fc:math> perturbation theory, while our result for <kc:math xmlns:kc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><kc:msubsup><kc:mover accent="true"><kc:mi>m</kc:mi><kc:mo stretchy="true">¯</kc:mo></kc:mover><kc:mi>b</kc:mi><kc:mn>2</kc:mn></kc:msubsup><kc:msub><kc:mi>χ</kc:mi><kc:mi>T</kc:mi></kc:msub></kc:math> is in tension with the <oc:math xmlns:oc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><oc:mi mathvariant="script">O</oc:mi><oc:mo stretchy="false">(</oc:mo><oc:msub><oc:mi>α</oc:mi><oc:mi>s</oc:mi></oc:msub><oc:mo stretchy="false">)</oc:mo></oc:math> perturbation theory at the level of <tc:math xmlns:tc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><tc:mn>2</tc:mn><tc:mi>σ</tc:mi></tc:math>. These results will allow for dispersively bounded parametrizations to be employed using lattice inputs for the full set of <vc:math xmlns:vc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><vc:mi>h</vc:mi><vc:mo stretchy="false">→</vc:mo><vc:mi>c</vc:mi></vc:math> semileptonic form factors in future calculations, for heavy-quark masses in the range <yc:math xmlns:yc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><yc:mrow><yc:mn>1.25</yc:mn><yc:mo>×</yc:mo><yc:msub><yc:mrow><yc:mi>m</yc:mi></yc:mrow><yc:mrow><yc:mi>c</yc:mi></yc:mrow></yc:msub><yc:mo>≤</yc:mo><yc:msub><yc:mrow><yc:mi>m</yc:mi></yc:mrow><yc:mrow><yc:mi>h</yc:mi></yc:mrow></yc:msub><yc:mo>≤</yc:mo><yc:msub><yc:mrow><yc:mi>m</yc:mi></yc:mrow><yc:mrow><yc:mi>b</yc:mi></yc:mrow></yc:msub></yc:mrow></yc:math>.