Inscrire des sphères dans des simples topologiquement enfouis

En géométrie plane, il est bien connu qu'on peut inscrire un cercle dans n'importe quel triangle. Une question moins triviale mais naturelle pourrait être posée sur l'inscriptions de cercles dans des triangles topologiquement enfouis. Cet article présente une preuve pour le théorème général suivant : Étant donné une bordure d'un n-simplexe topologiquement enfoui dans l'espace euclidien k, avec n≤k, il existe une (k−1)-sphère dont l'intérieur est disjoint de la bordure enfouie du simplexe et qui touche chaque face (n−1)-dimensionnelle sur la bordure du simplexe au moins une fois. Nous disons que cette sphère est inscrite dans l'enfouissement. Cet article montre également que des ellipsoïdes, des cubes et des octaèdres peuvent être inscrits dans n'importe quelle bordure topologiquement enfouie du n-simplexe. L'unicité des sphères inscrites est également discutée.