Zwei Quantenalgorithmen zur Lösung der eindimensionalen Advektions-Diffusionsgleichung

Es werden zwei Quantenalgorithmen für die numerische Lösung einer linearen eindimensionalen Advektions-Diffusionsgleichung mit periodischen Randbedingungen vorgestellt. Ihre Genauigkeit und Leistung bei zunehmender Qubit-Anzahl werden Punkt für Punkt miteinander verglichen. Insbesondere lösen wir die lineare partielle Differentialgleichung mit einem Quantum Linear Systems Algorithm (QLSA) basierend auf der Harrow-Hassidim-Lloyd-Methode und einem Variational Quantum Algorithm (VQA) für Auflösungen, die mit bis zu 6 Qubits codiert werden können, was N=64 Gitterpunkten im Einheitsintervall entspricht. Beide Algorithmen sind hybrid, d.h. sie beinhalten eine Kombination aus klassischen und quantenbasierten Rechenelementen. Der QLSA und der VQA werden als ideale Zustandsvektor-Simulationen unter Verwendung des internen Solvers QFlowS und der Open-Access-Software Qiskit gelöst. Wir diskutieren mehrere Aspekte beider Algorithmen, die für eine erfolgreiche Leistung in beiden Fällen entscheidend sind. Dazu gehören die genaue Eigenwertabschätzung mit der Quantenphasenabschätzung für den QLSA sowie die Wahl des Algorithmus zur Minimierung der Kostenfunktion für den VQA. Letzterer Algorithmus wird ebenfalls im geräuschbehafteten Qiskit-Framework einschließlich Messrauschen implementiert. Wir reflektieren über die aktuellen Einschränkungen und schlagen mögliche Wege für zukünftige Forschungen zur numerischen Simulation klassischer Fluidströmungen auf einem Quantencomputer vor.