Finite groups with a small proportion of vanishing elements

Let 𝐺 be a finite group and let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="normal">P</m:mi> <m:mi mathvariant="bold">v</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>G</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Pᵥ(G) be the proportion of elements <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi>G</m:mi> </m:mrow> </m:math> g∈ G such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>χ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> χ(g)=0 for some irreducible character 𝜒. In a recent paper, we proved that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="normal">P</m:mi> <m:mi mathvariant="bold">v</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>G</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo><</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="normal">P</m:mi> <m:mi mathvariant="bold">v</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mn>7</m:mn> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Pᵥ(G)<Pᵥ(A₇) , then <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="normal">P</m:mi> <m:mi mathvariant="bold">v</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>G</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>/</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Pᵥ(G)=(m-1)/m for some <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:math> 1≤ m≤ 6 . Here we classify all the finite groups 𝐺 such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="normal">P</m:mi> <m:mi mathvariant="bold">v</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>G</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>/</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Pᵥ(G)=(m-1)/m and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> m=1,2,…,6 .