Über das Wachstum der extremen und Cluster-Level-Sets in der verzweigten Brownschen Bewegung

Wir untersuchen die Grenzwertprozesse von extremen und Cluster-Punkten der verzweigten Brownschen Bewegung. Ersteres erfasst die Höhen aller extremen Werte des Prozesses, während letzteres die relativen Höhen extremer Werte in einer genealogischen Nachbarschaft der Ordnung eins um ein lokales Maximum aufzeichnet. Für den extremen Punktprozess zeigen wir, dass die Masse der oberen Level-Sets [-v, ) als C_ Z v e^2 v (1+o (1)) wächst, wenn v fast sicher, wobei Z das Limit des zugehörigen Ableitungs-Martingales ist und C_ (0, ) eine universelle Konstante ist. Für den Cluster-Punktprozess zeigen wir, dass der Logarithmus der Masse von [-v, ) als 2v minus zufällige Fluktuationen der Ordnung v^2/3 wächst, die im Grenzwert durch ein explizites Gesetz geregelt sind. Das erste Ergebnis verbessert die Arbeiten von Cortines et al. (arXiv: 1703. 06529) und Mytnik et al. (arXiv: 2009. 02042), in denen Asymptotiken in der Wahrscheinlichkeit gezeigt werden, während das zweite das Ergebnis in der physikalischen Literatur von Mueller et al. (arXiv: 1910. 06382) und Le et al. (arXiv: 2207. 07672) rigoros ableitet und eine Vermutung dazu löst.