Von anomalem Energieverlust über Euler-Singularitäten zu stabilisierten Finite-Elemente-Methoden für turbulente Strömungen

Zusammenfassung Es ist bekannt, dass kinetische Energie, die künstlich durch eine unzureichende numerische Diskretisierung nichtlinearer Transportterme erzeugt wird, zu einem Ausbruch der numerischen Lösung in Simulationen von fluiddynamischen Problemen wie inkompressiblen turbulenten Strömungen führen kann. Die Gemeinschaft scheint jedoch gespalten zu sein, ob dieses Problem durch die Verwendung von diskret energieerhaltenden oder dissipativen Diskretisierungsansätzen gelöst werden sollte. Die Begründung für diskret energieerhaltende Ansätze basiert oft auf der Erwartung einer exakten Erhaltung der kinetischen Energie im viskosen Grenzfall, der mathematisch auf der Annahme einer ausreichenden Regelmäßigkeit der Lösung beruht. Es gibt die (widersprüchliche) phänomenologische Beobachtung in der Turbulenz, dass Strömungen Energie im Grenzfall verschwindender molekularer Viskosität dissipieren, ein "anomal" genanntes Phänomen, das als Dissipationsanomalie oder das nullte Gesetz der Turbulenz bezeichnet wird. Wie bereits von Onsager vermutet, können die Euler-Gleichungen kinetische Energie durch die Bildung von Singularitäten des Geschwindigkeitsfeldes dissipieren. Mit dem Beweis von Onsagers Vermutung in den letzten Jahren ergibt sich eine Konsequenz für die Gestaltung numerischer Methoden für turbulente Strömungen, dass die Glattheitsannahme hinter der Energieerhaltung im viskosen Grenzfall tatsächlich kritisch für turbulente Strömungen wird. Das Geschwindigkeitsfeld muss vielmehr als singularverhalten gegenüber dem viskosen Grenzfall erwartet werden, was die Dissipation kinetischer Energie unterstützt. Unser Hauptargument ist, dass die Gestaltung numerischer Methoden vor dem Hintergrund dieses physikalischen Verhaltens eine starke Begründung für den Bau dissipativer (oder dissipationsbewusster) numerischer Verfahren für konvektive Terme darstellt. Aus dieser Perspektive erscheint die numerische Dissipation nicht künstlich, sondern als ein wichtiges Element zur Überwindung der Probleme, die durch energierhaltende numerische Methoden eingeführt werden, wie die Unfähigkeit, anomalem Energieverlust sowie die Anreicherung von Energie in kleinen Skalen darzustellen, was als Thermalisierung bekannt ist. Diese Arbeit behandelt stabilisierte H1-, L2- und H(div)-konforme Finite-Elemente-Methoden mit einem Fokus auf die Energiestabilität der numerischen Methode und ihre Dissipationsmechanismen zur Vorhersage der Inertialdissipation. Schließlich diskutieren wir die erreichbare Konvergenzrate für die kinetische Energie in unteraufgelösten turbulenten Strömungssimulationen.