Opérateurs de Koopman avec des observables intrinsèques dans des espaces de Hilbert à noyau reproduisant aménagés

Cet article présente une approche novatrice pour estimer l'opérateur de Koopman défini sur un espace de Hilbert à noyau reproduisant (RKHS) et ses spectres. Nous proposons une méthode d'estimation, que nous appelons Décomposition de Modes Dynamiques de Jet (JetDMD), tirant parti de la structure intrinsèque des RKHS et de la notion géométrique connue sous le nom de jets pour améliorer l'estimation de l'opérateur de Koopman. Cette méthode affine la Décomposition de Modes Dynamiques Étendue (EDMD) traditionnelle en précision, en particulier dans l'estimation numérique des valeurs propres. Cet article prouve la supériorité de JetDMD à travers des bornes d'erreur explicites et un taux de convergence pour des noyaux positifs définis spéciaux, offrant une solide base théorique pour ses performances. Nous explorons également l'analyse spectrale de l'opérateur de Koopman, en proposant la notion d'opérateur de Koopman étendu dans un cadre d'espace de Hilbert aménagé. Cette notion conduit à une compréhension plus profonde des fonctions propres estimées de Koopman et à leur capture en dehors de l'espace de fonction original. Grâce à la théorie de l'espace de Hilbert aménagé, notre étude fournit une méthodologie principielle pour analyser le spectre estimé et les fonctions propres des opérateurs de Koopman, et permet l'augmentation de la décomposition dans un RKHS aménagé. Nous proposons également une nouvelle méthode efficace pour reconstruire le système dynamique à partir de données de trajectoire échantillonnées temporellement du système dynamique avec une garantie théorique solide. Nous réalisons plusieurs simulations numériques en utilisant l'oscillateur de van der Pol, l'oscillateur de Duffing, la carte de Hénon et l'attracteur de Lorenz, et illustrons les performances de JetDMD avec des calculs numériques clairs de valeurs propres et des prédictions précises des systèmes dynamiques.