Direkte und inverse Streuung in einem dreidimensionalen planaren Wellenleiter

In diesem Papier untersuchen wir die direkte und inverse Streuung der Schrödinger-Gleichung in einem dreidimensionalen planaren Wellenleiter. Für das direkte Problem leiten wir eine resonanzfreie Region und Resolventenschätzungen für die Resolvente des Schrödinger-Operators in einer solchen Geometrie ab. Basierend auf der Analyse der Resolvente werden mehrere inverse Probleme untersucht. Erstens, gegeben der Potentialfunktion, beweisen wir die Eindeutigkeit des inversen Quellenproblems mit Mehrfrequenzdaten. Wir entwickeln auch eine auf Fourier basierende Methode zur Rekonstruktion der Quellenfunktion. Die Fähigkeit dieser Methode wird numerisch anhand von Beispielen veranschaulicht. Zweitens wird die Eindeutigkeit und erhöhte Stabilität eines inversen Potentialproblems aus Daten, die von einfallenden Wellen erzeugt werden, in Abwesenheit der Quellenfunktion erreicht. Um die Stabilitätsschätzung abzuleiten, verwenden wir ein Argument der quantitativen analytischen Fortsetzung in der komplexen Theorie. Drittens beweisen wir die Eindeutigkeit der gleichzeitigen Bestimmung der Quelle und des Potentials durch aktive Randdaten, die von einfallenden Wellen erzeugt werden. In diesen inversen Problemen verwenden wir nur die begrenzten lateralen Dirichlet-Randdaten bei mehreren Wellenzahlen innerhalb eines endlichen Intervalls.