Joint distribution of the cokernels of random p-adic matrices II

In this paper, we study the combinatorial relations between the cokernels <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>cok</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {cok(Aₙ+pxᵢIₙ)} ( <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:math> {1≤ i≤ m} ), where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:math> {Aₙ} is an <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:math> {n× n} matrix over the ring of p -adic integers <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> </m:math> {Zₚ} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:math> {Iₙ} is the <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:math> {n× n} identity matrix and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> {x₁,,xₘ} are elements of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> </m:math> {Zₚ} whose reductions modulo p are distinct. For a positive integer <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mn>4</m:mn> </m:mrow> </m:math> {m≤ 4} and given <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:msub> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> {x₁,,xₘₚ} , we determine the set of m -tuples of finitely generated <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> </m:math> {Zₚ} -modules <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>H</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>H</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {(H₁,,Hₘ)} for which <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>cok</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mi>cok</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>H</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>H</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> (cok(Aₙ+px₁Iₙ),,cok(Aₙ+pxₘI_% {n}))=(H₁,,Hₘ) for some matrix <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:math> {Aₙ} . We also prove that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:math> {Aₙ} is an <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:math> {n× n} Haar random matrix over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>ℤ</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> </m:math> {Zₚ} for each positive integer n , then the joint distribution of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>cok</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>A</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>x</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {cok(Aₙ+pxᵢIₙ)} ( <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:math> {1≤ i≤ m} ) converges as <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>→</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:mrow> </m:math> {n→∞} .