p-阿迪克值的ₖ(n)

摘要 对于任何整数k和任何正整数n，设ₖ(n) = ₃ ₍dᵏ。对于任何素数p和任何正整数m，设ₚ(m)为满足p^m的最大整数，并令x表示不小于x的最小整数。在2021年，Amdeberhan等人发表了《除数和的算术性质》，期刊编号：J. Number Theory 223 (2021), 325-349，证明了对于任何正整数n，₂(₁(n)) ₂n，并且如果n满足一些条件，则ₚ(₁(n)) ₚn。最近，Zhao和Chen在《除数和的p-阿迪克值》，期刊编号：Front. Math. 20 (4) (2025), 795-827中无条件地证明了这一结果。我们将这些结果推广到所有k：对于任何素数p、任何n和任何k≥2，ₚ(ₖ(n)) k ₚ n。设p^为一个奇素数。我们还证明了存在一个整数k≥2和一个素数q，使得₏^(ₖ(q)) = k ₏^q当且仅当p^是一个费马素数。