Les codes quantiques de type LDPC (Low-Density Parity-Check, à matrice de parité creuse) offrent une solution prometteuse pour protéger l’information quantique contre les erreurs et sont donc considérés comme une étape importante dans la réalisation à grande échelle d’un ordinateur quantique tolérant aux fautes. Dans cette thèse, nous étudions les codes LDPC quantiques selon trois approches différentes, en analysant le décodage par renormalisation du code torique de Kitaev, en établissant des limites sur la distance minimale des codes géométriquement locaux et en construisant de petits exemples de codes de Tanner quantiques. Le code torique de Kitaev est un code LDPC quantique remarquable et est actuellement le plus largement considéré pour une mise en œuvre expérimentale. Nous examinons les décodeurs par renormalisation probabiliste introduits par Duclos-Cianci et Poulin, une famille de décodeurs qui offrent l’un des meilleurs compromis entre précision et rapidité. Nous étudions la manière dont ils gèrent les erreurs adverses en introduisant un décodeur par renormalisation déterministe, n’utilisant pas les probabilités a priori du modèle d’erreur. Nous constatons que ce décodeur par renormalisation admet des motifs d’erreurs incorrigibles de type fractal et nous obtenons une borne inférieure sur le poids de ces erreurs. En raison de contraintes physiques, une grande attention a été accordée aux codes LDPC quantiques dont les stabilisateurs n’agissent que sur un nombre limité de qubits voisins. Nous étendons la fameuse borne de Bravyi-Terhal aux codes quantiques définis par des contraintes locales sur un quotient de réseau, fournissant ainsi un aperçu essentiel des limites des codes stabilisateurs géométriquement locaux. En guise d’application, nous fournissons des bornes supérieures sur la distance minimale de codes à deux blocs construits à l’aide d’une algèbre d’un groupe abélien, une famille de codes LDPC quantiques pour laquelle la distance minimale est actuellement inconnue. Ces dernières années, des codes LDPC quantiques asymptotiquement bons ont été construits, mais les résultats démontrables concernant leurs distances minimales ne s’appliquent qu’à des codes trop longs pour être utilisables. Dans le cadre des efforts visant à concevoir des codes pouvant être mis en œuvre à court terme, nous construisons des instances courtes de codes quantiques de Tanner à l’aide de complexes carrés obtenus à partir de produits liftés de graphes réguliers. Plusieurs instances explicites de ces codes présentent des distances minimales dépassant la racine carrée de la longueur du code.
Wouter Rozendaal (Tue,) studied this question.