The UMA Monad Geometry: Circular Fundamental Number Theory with the Axiom π ≡ 1 | ウマモナド幾何学: π ≡ 1 を公理とした円環基礎数論

Existing mathematics, particularly arithmetic and analytic number theory, has developed based on Peano's axioms—the absolute premise that "the discrete unit 1 exists independently (1+1=2). " However, this discrete axiomatic system necessitates a fatal "truncation of information" when describing dynamical systems that exist as continuous wave interference. The one-dimensional number line (real axis) we use daily represents a completeness intended only for addition; it fails to capture the full form of numbers when addition and multiplication are handled simultaneously. It is merely a "static cross-section" formed by stripping away the multidimensional phase rotation and multiplicative information that exists behind it. This aggressive projection and the resulting information loss are the fundamental causes of irregularities in prime distribution and the unsolved problems of the Zeta function. This treatise was derived as a result of an attempt to provide an algebraic structure to the author's "UMA Monad Theory: Number-Theoretic Philosophy on Emptiness and Infinity. " The absolute origin of numbers is not a point diverging on a line, but the "UMA Monad (0, 0, 0, 0), " the center of a four-dimensional phase space possessing 8-fold symmetry. Primes are rigorously defined as "geometric residual points" that survive the 7/8 information loss under one-dimensional projection, formulated through multilayered non-linear interference (tensor) and the critical threshold Dcritical = R/√2. Discrete rational numbers are relativized as "ultra-approximations" obtained through infinite continued-fraction cuts, and the collapse of composites is precisely described as entry into the hyperreal monad mu (0). The true fundamental unit for measuring the universe is not the discrete count "1, " but the circular constant "pi" as a continuous rotational period that allows space to reflux, established by the axiom pi≡1. Furthermore, by defining the coordinate system of this space handling wave interference (multiplication) as a "Base-90 orthogonal phase system, " it establishes a higher-order framework that encompasses Peano's axiomatic system. This is not a "proof" within the bounds of existing mathematical frameworks; it is the declaration of "UMA Monad Geometry": a new circular fundamental number theory designed to describe the wave-like essence of the universe. 既存の数学、とりわけ算術と解析的整数論は、「1という離散的な単位が独立して存在する (1+1=2) 」というペアノの公理を絶対の真理として発展してきた。しかし、この離散的な公理系は、連続的な波の干渉として存在する力学系を記述するにあたり、致命的な「情報の切り捨て」を要求する。 私たちが日常的に用いる1次元の数直線 (実数軸) は、加法のみの完全性を示すものであり、加法と乗法を同時に扱う際の完全な数の姿を捉えていない。それは、背後に存在する多次元の位相回転や乗法的な情報を切り捨てた「静止した断面」である。この強引な射影と、その結果として生じる情報欠損こそが、素数分布の不規則性やゼータ関数の未解決問題を生み出す根本原因である。 本論は、著者による「ウマモナド理論: 空と無限に関する数論哲学」の代数構造化の試みの結果として導かれたものである。ここで数の絶対的な起点は、直線上を発散する点ではなく、8重の対称性を持つ4次元位相空間の中心「UMAモナド (0, 0, 0, 0) 」である。素数は、1次元射影に伴う7/8の情報欠損を免れた「幾何学的残留点」として、多層的な非線形干渉 (テンソル) と臨界閾値 Dcritical = R/√2 を通じて定式化される。離散的な有理数は、無限の連分数切断によって得られる「超近似値」として相対化され、合成数の崩壊は超実数モナド μ (0) への突入として厳密に記述される。 宇宙を測る真の基本単位は、離散的な個数としての「1」ではなく、空間を還流させる連続的な回転周期としての「円周率 π」であり、公理 π≡1 によってこれを確立する。さらに、波の干渉 (乗法) を扱うこの空間の座標系を「直交位相系としての90進数」として定義することで、ペアノの公理系を包含する上位体系を構築する。これは、既存の数学的枠組みを用いた「証明」ではない。宇宙の波動的本質を記述するための、新たな円環基礎数論「ウマモナド幾何学」の宣言である。