Uniform congruence counting for Schottky semigroups in SL₂(𝐙)

Let Γ be a Schottky semigroup in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:msub><m:mi>SL</m:mi><m:mn>2</m:mn></m:msub><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>𝐙</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {SL₂(Z)} , and for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>q</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mi>𝐍</m:mi></m:mrow></m:math> {q} , let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mrow><m:mi>Γ</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>q</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>:=</m:mo><m:mrow><m:mo>{</m:mo><m:mrow><m:mi>γ</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mi>Γ</m:mi></m:mrow><m:mo>:</m:mo><m:mrow><m:mi>γ</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mrow><m:mpadded><m:mi>e</m:mi></m:mpadded><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mpadded><m:mi>mod</m:mi></m:mpadded><m:mo>⁢</m:mo><m:mi>q</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow><m:mo>}</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {Γ(q):=\{γ∈Γ:γ=e~{}(mod~{}q)\}} be its congruence subsemigroup of level q . Let δ denote the Hausdorff dimension of the limit set of Γ. We prove the following uniform congruence counting theorem with respect to the family of Euclidean norm balls <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:msub><m:mi>B</m:mi><m:mi>R</m:mi></m:msub></m:math> {BR} in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:msub><m:mi>M</m:mi><m:mn>2</m:mn></m:msub><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>𝐑</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {M₂(R)} of radius R : for all positive integer q with no small prime factors, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mrow><m:mi>#</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:mi>Γ</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>q</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>∩</m:mo><m:msub><m:mi>B</m:mi><m:mi>R</m:mi></m:msub></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:msub><m:mi>c</m:mi><m:mi>Γ</m:mi></m:msub><m:mo>⁢</m:mo><m:mfrac><m:msup><m:mi>R</m:mi><m:mrow><m:mn>2</m:mn><m:mo>⁢</m:mo><m:mi>δ</m:mi></m:mrow></m:msup><m:mrow><m:mi>#</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:msub><m:mi>SL</m:mi><m:mn>2</m:mn></m:msub><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:mi>𝐙</m:mi><m:mo>/</m:mo><m:mi>q</m:mi></m:mrow><m:mo>⁢</m:mo><m:mi>𝐙</m:mi></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mfrac></m:mrow><m:mo>+</m:mo><m:mrow><m:mi>O</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>q</m:mi><m:mi>C</m:mi></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:msup><m:mi>R</m:mi><m:mrow><m:mrow><m:mn>2</m:mn><m:mo>⁢</m:mo><m:mi>δ</m:mi></m:mrow><m:mo>-</m:mo><m:mi>ϵ</m:mi></m:mrow></m:msup></m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> #(Γ(q)∩ BR)=cΓ{R2δ}{#(SL₂(% Z/qZ))}+O(qCR2δ-ε) as <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>R</m:mi><m:mo>→</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mrow></m:math> {R→∞} for some <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mrow><m:msub><m:mi>c</m:mi><m:mi>Γ</m:mi></m:msub><m:mo>></m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow><m:mo>,</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:mi>C</m:mi><m:mo>></m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow><m:mo>,</m:mo><m:mrow><m:mi>ϵ</m:mi><m:mo>></m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> {cΓ>0,C>0,ε>0} which are independent of q . Our technique also applies to give a similar counting result for the continued fractions semigroup of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:msub><m:mi>SL</m:mi><m:mn>2</m:mn></m:msub><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>𝐙</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {SL₂(Z)} , which arises in the study of Zaremba’s conjecture on continued fractions.