Orientation optimale d'un système stochastique linéaire vers une distribution de probabilité finale, Partie I

Nous considérons le problème de diriger un système dynamique linéaire avec observation complète de l'état d'une distribution gaussienne initiale dans l'espace d'état vers une distribution finale avec un contrôle d'énergie minimal. Le système est entraîné de manière stochastique à travers les canaux de contrôle ; un exemple de tel système est celui d'une particule inertielle subissant un forçage aléatoire de “bruit blanc”. Nous montrons qu'une distribution de probabilité cible peut toujours être atteinte dans un temps fini. Le contrôle optimal est donné sous forme de retour d'état et est calculé explicitement en résolvant une paire d'équations différentielles de Lyapunov qui sont non linéairement couplées à travers leurs valeurs aux limites. Ce résultat, compte tenu de sa nature algorithmique attrayante, semble avoir plusieurs applications potentielles telles que le contrôle de qualité, le contrôle des processus industriels, ainsi que le contrôle actif des systèmes nanomécaniques et du refroidissement moléculaire. Le problème de diriger un processus de diffusion entre des marges terminales a une longue histoire (ponts de Schrödinger) et le présent cas de gestion d'un système stochastique linéaire constitue un tel pont de Schrödinger pour des diffusions potentiellement dégénérées. Nos résultats fournissent la première forme implémentable du contrôle optimal pour un processus Gauss-Markov général. Des exemples illustratifs sont fournis pour diriger des particules inertielle et pour “refroidir” un oscillateur stochastique. Un résultat final établit directement la propriété des ponts de Schrödinger comme l'évolution aléatoire la plus probable entre des marges données à l'instant présent des systèmes stochastiques linéaires. Une seconde partie de ce travail, qui apparaîtra sous la Partie II, aborde la situation générale où l'excitation stochastique entre par des canaux qui peuvent différer de ceux utilisés pour le contrôle.